Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68601 / 65707
↖ ↑ ↗
← S  0.469660°
E  8.418274°		 ← 305.35 m → S  0.469660°
E  8.421020°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.472407°
E  8.418274°		 ← 305.35 m →
93 243 m²		 S  0.472407°
E  8.421020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523387908935547 y=0.501308441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523387908935547 × 217)
    floor (0.523387908935547 × 131072)
    floor (68601.5)     		tx = 68601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501308441162109 × 217)
    floor (0.501308441162109 × 131072)
    floor (65707.5)     		ty = 65707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68601 / 65707 ti = "17/68601/65707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68601/65707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68601 ÷ 217
    68601 ÷ 131072     		x = 0.523384094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65707 ÷ 217
    65707 ÷ 131072     		y = 0.501304626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523384094238281 × 2 - 1) × π
    0.0467681884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14692660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501304626464844 × 2 - 1) × π
    -0.0026092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0081972098350296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14692660} λ = 0.14692660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0081972098350296))-π/2
    2×atan(0.991836295676437)-π/2
    2×0.781299604379609-π/2
    1.56259920875922-1.57079632675     		φ = -0.00819712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14692660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.418274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00819712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.469660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68601 KachelY 65707 0.14692660 -0.00819712 8.418274 -0.469660
    Oben rechts KachelX + 1 68602 KachelY 65707 0.14697453 -0.00819712 8.421020 -0.469660
    Unten links KachelX 68601 KachelY + 1 65708 0.14692660 -0.00824505 8.418274 -0.472407
    Unten rechts KachelX + 1 68602 KachelY + 1 65708 0.14697453 -0.00824505 8.421020 -0.472407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00819712--0.00824505) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00819712--0.00824505) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14692660-0.14697453) × cos(-0.00819712) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999966403799972 × 6371000     		do = 305.351770996169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14692660-0.14697453) × cos(-0.00824505) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999966009767806 × 6371000     		du = 305.351650673707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00819712)-sin(-0.00824505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999966403799972-0.999966009767806)×R²
    abs(0.14697453-0.14692660)×3.94032165451641e-07×R²
    4.79300000000016e-05×3.94032165451641e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.94032165451641e-07×40589641000000     		ar = 93242.8183023794m²