Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68553 / 65753
↖ ↑ ↗
← S  0.595998°
E  8.286438°		 ← 305.35 m → S  0.595998°
E  8.289184°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.598744°
E  8.286438°		 ← 305.35 m →
93 241 m²		 S  0.598744°
E  8.289184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523021697998047 y=0.501659393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523021697998047 × 217)
    floor (0.523021697998047 × 131072)
    floor (68553.5)     		tx = 68553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501659393310547 × 217)
    floor (0.501659393310547 × 131072)
    floor (65753.5)     		ty = 65753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68553 / 65753 ti = "17/68553/65753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68553/65753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68553 ÷ 217
    68553 ÷ 131072     		x = 0.523017883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65753 ÷ 217
    65753 ÷ 131072     		y = 0.501655578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523017883300781 × 2 - 1) × π
    0.0460357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14462563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501655578613281 × 2 - 1) × π
    -0.0033111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0104023072175522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14462563} λ = 0.14462563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0104023072175522))-π/2
    2×atan(0.989651609664897)-π/2
    2×0.780197103587203-π/2
    1.56039420717441-1.57079632675     		φ = -0.01040212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14462563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.286438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01040212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.595998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68553 KachelY 65753 0.14462563 -0.01040212 8.286438 -0.595998
    Oben rechts KachelX + 1 68554 KachelY 65753 0.14467356 -0.01040212 8.289184 -0.595998
    Unten links KachelX 68553 KachelY + 1 65754 0.14462563 -0.01045005 8.286438 -0.598744
    Unten rechts KachelX + 1 68554 KachelY + 1 65754 0.14467356 -0.01045005 8.289184 -0.598744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01040212--0.01045005) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01040212--0.01045005) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14462563-0.14467356) × cos(-0.01040212) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99994589843759 × 6371000     		do = 305.345509437086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14462563-0.14467356) × cos(-0.01045005) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999945398724389 × 6371000     		du = 305.345356843649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01040212)-sin(-0.01045005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99994589843759-0.999945398724389)×R²
    abs(0.14467356-0.14462563)×4.99713200374785e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.99713200374785e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.99713200374785e-07×40589641000000     		ar = 93240.9013328198m²