Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68549 / 65451
↖ ↑ ↗
← N  0.233459°
E  8.275452°		 ← 305.42 m → N  0.233459°
E  8.278199°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.230712°
E  8.275452°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.230712°
E  8.278199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522991180419922 y=0.499355316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522991180419922 × 217)
    floor (0.522991180419922 × 131072)
    floor (68549.5)     		tx = 68549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499355316162109 × 217)
    floor (0.499355316162109 × 131072)
    floor (65451.5)     		ty = 65451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68549 / 65451 ti = "17/68549/65451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68549/65451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68549 ÷ 217
    68549 ÷ 131072     		x = 0.522987365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65451 ÷ 217
    65451 ÷ 131072     		y = 0.499351501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522987365722656 × 2 - 1) × π
    0.0459747314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14443388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499351501464844 × 2 - 1) × π
    0.0012969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00407463646770477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14443388} λ = 0.14443388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00407463646770477))-π/2
    2×atan(1.00408294908534)-π/2
    2×0.78743547599384-π/2
    1.57487095198768-1.57079632675     		φ = 0.00407463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14443388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.275452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00407463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.233459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68549 KachelY 65451 0.14443388 0.00407463 8.275452 0.233459
    Oben rechts KachelX + 1 68550 KachelY 65451 0.14448182 0.00407463 8.278199 0.233459
    Unten links KachelX 68549 KachelY + 1 65452 0.14443388 0.00402669 8.275452 0.230712
    Unten rechts KachelX + 1 68550 KachelY + 1 65452 0.14448182 0.00402669 8.278199 0.230712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00407463-0.00402669) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00407463-0.00402669) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14443388-0.14448182) × cos(0.00407463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999991698706667 × 6371000     		do = 305.423204571494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14443388-0.14448182) × cos(0.00402669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999991892894776 × 6371000     		du = 305.423263881541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00407463)-sin(0.00402669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999991698706667-0.999991892894776)×R²
    abs(0.14448182-0.14443388)×1.9418810937033e-07×R²
    4.79400000000241e-05×1.9418810937033e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9418810937033e-07×40589641000000     		ar = 93284.1173446928m²