Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68547 / 65401
↖ ↑ ↗
← N  0.370786°
E  8.269958°		 ← 305.42 m → N  0.370786°
E  8.272705°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.368039°
E  8.269958°		 ← 305.42 m →
93 283 m²		 N  0.368039°
E  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522975921630859 y=0.498973846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522975921630859 × 217)
    floor (0.522975921630859 × 131072)
    floor (68547.5)     		tx = 68547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498973846435547 × 217)
    floor (0.498973846435547 × 131072)
    floor (65401.5)     		ty = 65401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68547 / 65401 ti = "17/68547/65401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68547/65401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68547 ÷ 217
    68547 ÷ 131072     		x = 0.522972106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65401 ÷ 217
    65401 ÷ 131072     		y = 0.498970031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522972106933594 × 2 - 1) × π
    0.0459442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14433800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498970031738281 × 2 - 1) × π
    0.0020599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00647148144870758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14433800} λ = 0.14433800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00647148144870758))-π/2
    2×atan(1.00649246672897)-π/2
    2×0.788633881536529-π/2
    1.57726776307306-1.57079632675     		φ = 0.00647144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14433800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.269958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00647144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.370786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68547 KachelY 65401 0.14433800 0.00647144 8.269958 0.370786
    Oben rechts KachelX + 1 68548 KachelY 65401 0.14438594 0.00647144 8.272705 0.370786
    Unten links KachelX 68547 KachelY + 1 65402 0.14433800 0.00642350 8.269958 0.368039
    Unten rechts KachelX + 1 68548 KachelY + 1 65402 0.14438594 0.00642350 8.272705 0.368039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00647144-0.00642350) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00647144-0.00642350) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14433800-0.14438594) × cos(0.00647144) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999979060305242 × 6371000     		do = 305.41934447821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14433800-0.14438594) × cos(0.00642350) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999979369394812 × 6371000     		du = 305.41943888212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00647144)-sin(0.00642350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999979060305242-0.999979369394812)×R²
    abs(0.14438594-0.14433800)×3.09089570271759e-07×R²
    4.79399999999963e-05×3.09089570271759e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.09089570271759e-07×40589641000000     		ar = 93282.943732128m²