Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68544 / 65393
↖ ↑ ↗
← N  0.392758°
E  8.261719°		 ← 305.42 m → N  0.392758°
E  8.264465°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.390012°
E  8.261719°		 ← 305.42 m →
93 263 m²		 N  0.390012°
E  8.264465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522953033447266 y=0.498912811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522953033447266 × 217)
    floor (0.522953033447266 × 131072)
    floor (68544.5)     		tx = 68544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498912811279297 × 217)
    floor (0.498912811279297 × 131072)
    floor (65393.5)     		ty = 65393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68544 / 65393 ti = "17/68544/65393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68544/65393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68544 ÷ 217
    68544 ÷ 131072     		x = 0.52294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65393 ÷ 217
    65393 ÷ 131072     		y = 0.498908996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52294921875 × 2 - 1) × π
    0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498908996582031 × 2 - 1) × π
    0.0021820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00685497664566803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14419419} λ = 0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00685497664566803))-π/2
    2×atan(1.0068785257769)-π/2
    2×0.788825624877249-π/2
    1.5776512497545-1.57079632675     		φ = 0.00685492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00685492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.392758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68544 KachelY 65393 0.14419419 0.00685492 8.261719 0.392758
    Oben rechts KachelX + 1 68545 KachelY 65393 0.14424213 0.00685492 8.264465 0.392758
    Unten links KachelX 68544 KachelY + 1 65394 0.14419419 0.00680699 8.261719 0.390012
    Unten rechts KachelX + 1 68545 KachelY + 1 65394 0.14424213 0.00680699 8.264465 0.390012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00685492-0.00680699) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00685492-0.00680699) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14419419-0.14424213) × cos(0.00685492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999976505127899 × 6371000     		do = 305.418564061279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14419419-0.14424213) × cos(0.00680699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999976832533026 × 6371000     		du = 305.418664059232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00685492)-sin(0.00680699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976505127899-0.999976832533026)×R²
    abs(0.14424213-0.14419419)×3.27405126787639e-07×R²
    4.79399999999963e-05×3.27405126787639e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.27405126787639e-07×40589641000000     		ar = 93263.2480070803m²