Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68540 / 65428
↖ ↑ ↗
← N  0.296629°
E  8.250733°		 ← 305.36 m → N  0.296629°
E  8.253479°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.293883°
E  8.250733°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 N  0.293883°
E  8.253479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522922515869141 y=0.499179840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522922515869141 × 217)
    floor (0.522922515869141 × 131072)
    floor (68540.5)     		tx = 68540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499179840087891 × 217)
    floor (0.499179840087891 × 131072)
    floor (65428.5)     		ty = 65428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68540 / 65428 ti = "17/68540/65428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68540/65428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68540 ÷ 217
    68540 ÷ 131072     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65428 ÷ 217
    65428 ÷ 131072     		y = 0.499176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499176025390625 × 2 - 1) × π
    0.00164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00517718515896606))-π/2
    2×atan(1.00519060993958)-π/2
    2×0.787986744413228-π/2
    1.57597348882646-1.57079632675     		φ = 0.00517716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00517716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.296629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68540 KachelY 65428 0.14400245 0.00517716 8.250733 0.296629
    Oben rechts KachelX + 1 68541 KachelY 65428 0.14405038 0.00517716 8.253479 0.296629
    Unten links KachelX 68540 KachelY + 1 65429 0.14400245 0.00512923 8.250733 0.293883
    Unten rechts KachelX + 1 68541 KachelY + 1 65429 0.14405038 0.00512923 8.253479 0.293883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00517716-0.00512923) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00517716-0.00512923) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14405038) × cos(0.00517716) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9999865985371 × 6371000     		do = 305.357937702094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14405038) × cos(0.00512923) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999986845528644 × 6371000     		du = 305.358013123933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00517716)-sin(0.00512923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9999865985371-0.999986845528644)×R²
    abs(0.14405038-0.14400245)×2.46991543217945e-07×R²
    4.79300000000016e-05×2.46991543217945e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.46991543217945e-07×40589641000000     		ar = 93244.731266658m²