Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68539 / 65429
↖ ↑ ↗
← N  0.293883°
E  8.247986°		 ← 305.42 m → N  0.293883°
E  8.250733°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.291136°
E  8.247986°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.291136°
E  8.250733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522914886474609 y=0.499187469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522914886474609 × 217)
    floor (0.522914886474609 × 131072)
    floor (68539.5)     		tx = 68539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499187469482422 × 217)
    floor (0.499187469482422 × 131072)
    floor (65429.5)     		ty = 65429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68539 / 65429 ti = "17/68539/65429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68539/65429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68539 ÷ 217
    68539 ÷ 131072     		x = 0.522911071777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65429 ÷ 217
    65429 ÷ 131072     		y = 0.499183654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522911071777344 × 2 - 1) × π
    0.0458221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14395451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499183654785156 × 2 - 1) × π
    0.0016326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14395451} λ = 0.14395451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00512924825934601))-π/2
    2×atan(1.00514242537313)-π/2
    2×0.787962776281666-π/2
    1.57592555256333-1.57079632675     		φ = 0.00512923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14395451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.247986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00512923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.293883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68539 KachelY 65429 0.14395451 0.00512923 8.247986 0.293883
    Oben rechts KachelX + 1 68540 KachelY 65429 0.14400245 0.00512923 8.250733 0.293883
    Unten links KachelX 68539 KachelY + 1 65430 0.14395451 0.00508129 8.247986 0.291136
    Unten rechts KachelX + 1 68540 KachelY + 1 65430 0.14400245 0.00508129 8.250733 0.291136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00512923-0.00508129) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00512923-0.00508129) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14395451-0.14400245) × cos(0.00512923) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999986845528644 × 6371000     		do = 305.421722285828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14395451-0.14400245) × cos(0.00508129) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999987090273745 × 6371000     		du = 305.421797037282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00512923)-sin(0.00508129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999986845528644-0.999987090273745)×R²
    abs(0.14400245-0.14395451)×2.44745101185551e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.44745101185551e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.44745101185551e-07×40589641000000     		ar = 93283.666974599m²