Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68536 / 65431
↖ ↑ ↗
← N  0.288390°
E  8.239746°		 ← 305.42 m → N  0.288390°
E  8.242493°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.285644°
E  8.239746°		 ← 305.42 m →
93 264 m²		 N  0.285644°
E  8.242493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522891998291016 y=0.499202728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522891998291016 × 217)
    floor (0.522891998291016 × 131072)
    floor (68536.5)     		tx = 68536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499202728271484 × 217)
    floor (0.499202728271484 × 131072)
    floor (65431.5)     		ty = 65431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68536 / 65431 ti = "17/68536/65431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68536/65431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68536 ÷ 217
    68536 ÷ 131072     		x = 0.52288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65431 ÷ 217
    65431 ÷ 131072     		y = 0.499198913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52288818359375 × 2 - 1) × π
    0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499198913574219 × 2 - 1) × π
    0.0016021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0050333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14381070} λ = 0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0050333744601059))-π/2
    2×atan(1.00504606316941)-π/2
    2×0.787914840000916-π/2
    1.57582968000183-1.57079632675     		φ = 0.00503335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00503335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.288390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68536 KachelY 65431 0.14381070 0.00503335 8.239746 0.288390
    Oben rechts KachelX + 1 68537 KachelY 65431 0.14385864 0.00503335 8.242493 0.288390
    Unten links KachelX 68536 KachelY + 1 65432 0.14381070 0.00498542 8.239746 0.285644
    Unten rechts KachelX + 1 68537 KachelY + 1 65432 0.14385864 0.00498542 8.242493 0.285644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00503335-0.00498542) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00503335-0.00498542) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14381070-0.14385864) × cos(0.00503335) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999987332720632 × 6371000     		do = 305.421871086802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14381070-0.14385864) × cos(0.00498542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999987572819451 × 6371000     		du = 305.421944419161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00503335)-sin(0.00498542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987332720632-0.999987572819451)×R²
    abs(0.14385864-0.14381070)×2.40098818937717e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.40098818937717e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.40098818937717e-07×40589641000000     		ar = 93264.2537757772m²