Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68528 / 65417
↖ ↑ ↗
← N  0.326841°
E  8.217773°		 ← 305.42 m → N  0.326841°
E  8.220520°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.324095°
E  8.217773°		 ← 305.42 m →
93 283 m²		 N  0.324095°
E  8.220520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522830963134766 y=0.499095916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522830963134766 × 217)
    floor (0.522830963134766 × 131072)
    floor (68528.5)     		tx = 68528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499095916748047 × 217)
    floor (0.499095916748047 × 131072)
    floor (65417.5)     		ty = 65417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68528 / 65417 ti = "17/68528/65417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68528/65417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68528 ÷ 217
    68528 ÷ 131072     		x = 0.5228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65417 ÷ 217
    65417 ÷ 131072     		y = 0.499092102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499092102050781 × 2 - 1) × π
    0.0018157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00570449105478668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14342720} λ = 0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00570449105478668))-π/2
    2×atan(1.00572079264657)-π/2
    2×0.78825039345571-π/2
    1.57650078691142-1.57079632675     		φ = 0.00570446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00570446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.326841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68528 KachelY 65417 0.14342720 0.00570446 8.217773 0.326841
    Oben rechts KachelX + 1 68529 KachelY 65417 0.14347514 0.00570446 8.220520 0.326841
    Unten links KachelX 68528 KachelY + 1 65418 0.14342720 0.00565652 8.217773 0.324095
    Unten rechts KachelX + 1 68529 KachelY + 1 65418 0.14347514 0.00565652 8.220520 0.324095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00570446-0.00565652) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00570446-0.00565652) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14342720-0.14347514) × cos(0.00570446) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999983729612175 × 6371000     		do = 305.420770604735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14342720-0.14347514) × cos(0.00565652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999984001933401 × 6371000     		du = 305.420853778647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00570446)-sin(0.00565652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999983729612175-0.999984001933401)×R²
    abs(0.14347514-0.14342720)×2.72321226013617e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.72321226013617e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.72321226013617e-07×40589641000000     		ar = 93283.3775929125m²