Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68526 / 65710
↖ ↑ ↗
← S  0.477900°
E  8.212280°		 ← 305.42 m → S  0.477900°
E  8.215027°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.480646°
E  8.212280°		 ← 305.41 m →
93 282 m²		 S  0.480646°
E  8.215027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522815704345703 y=0.501331329345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522815704345703 × 217)
    floor (0.522815704345703 × 131072)
    floor (68526.5)     		tx = 68526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501331329345703 × 217)
    floor (0.501331329345703 × 131072)
    floor (65710.5)     		ty = 65710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68526 / 65710 ti = "17/68526/65710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68526/65710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68526 ÷ 217
    68526 ÷ 131072     		x = 0.522811889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65710 ÷ 217
    65710 ÷ 131072     		y = 0.501327514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522811889648438 × 2 - 1) × π
    0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501327514648438 × 2 - 1) × π
    -0.002655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00834102053388977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14333133} λ = 0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00834102053388977))-π/2
    2×atan(0.991693669261449)-π/2
    2×0.781227701488552-π/2
    1.5624554029771-1.57079632675     		φ = -0.00834092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00834092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.477900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68526 KachelY 65710 0.14333133 -0.00834092 8.212280 -0.477900
    Oben rechts KachelX + 1 68527 KachelY 65710 0.14337927 -0.00834092 8.215027 -0.477900
    Unten links KachelX 68526 KachelY + 1 65711 0.14333133 -0.00838886 8.212280 -0.480646
    Unten rechts KachelX + 1 68527 KachelY + 1 65711 0.14337927 -0.00838886 8.215027 -0.480646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00834092--0.00838886) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00834092--0.00838886) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14333133-0.14337927) × cos(-0.00834092) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999965214728448 × 6371000     		do = 305.415115682672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14333133-0.14337927) × cos(-0.00838886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999964813720298 × 6371000     		du = 305.414993204461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00834092)-sin(-0.00838886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999965214728448-0.999964813720298)×R²
    abs(0.14337927-0.14333133)×4.01008150019422e-07×R²
    4.79399999999963e-05×4.01008150019422e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.01008150019422e-07×40589641000000     		ar = 93281.6190284302m²