Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68522 / 65162
↖ ↑ ↗
← N  1.027167°
E  8.201294°		 ← 305.38 m → N  1.027167°
E  8.204041°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.024420°
E  8.201294°		 ← 305.38 m →
93 250 m²		 N  1.024420°
E  8.204041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522785186767578 y=0.497150421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522785186767578 × 217)
    floor (0.522785186767578 × 131072)
    floor (68522.5)     		tx = 68522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497150421142578 × 217)
    floor (0.497150421142578 × 131072)
    floor (65162.5)     		ty = 65162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68522 / 65162 ti = "17/68522/65162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68522/65162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68522 ÷ 217
    68522 ÷ 131072     		x = 0.522781372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65162 ÷ 217
    65162 ÷ 131072     		y = 0.497146606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522781372070312 × 2 - 1) × π
    0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497146606445312 × 2 - 1) × π
    0.005706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.017928400457901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14313958} λ = 0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.017928400457901))-π/2
    2×atan(1.01809007899664)-π/2
    2×0.794361883441509-π/2
    1.58872376688302-1.57079632675     		φ = 0.01792744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01792744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.027167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68522 KachelY 65162 0.14313958 0.01792744 8.201294 1.027167
    Oben rechts KachelX + 1 68523 KachelY 65162 0.14318752 0.01792744 8.204041 1.027167
    Unten links KachelX 68522 KachelY + 1 65163 0.14313958 0.01787951 8.201294 1.024420
    Unten rechts KachelX + 1 68523 KachelY + 1 65163 0.14318752 0.01787951 8.204041 1.024420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01792744-0.01787951) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01792744-0.01787951) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14313958-0.14318752) × cos(0.01792744) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999839307751374 × 6371000     		do = 305.376660451204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14313958-0.14318752) × cos(0.01787951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999840165819089 × 6371000     		du = 305.376922527171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01792744)-sin(0.01787951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999839307751374-0.999840165819089)×R²
    abs(0.14318752-0.14313958)×8.58067714881727e-07×R²
    4.79400000000241e-05×8.58067714881727e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.58067714881727e-07×40589641000000     		ar = 93250.4769818753m²