Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68510 / 65154
↖ ↑ ↗
← N  1.049136°
E  8.168335°		 ← 305.37 m → N  1.049136°
E  8.171082°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.046389°
E  8.168335°		 ← 305.37 m →
93 250 m²		 N  1.046389°
E  8.171082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522693634033203 y=0.497089385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522693634033203 × 217)
    floor (0.522693634033203 × 131072)
    floor (68510.5)     		tx = 68510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497089385986328 × 217)
    floor (0.497089385986328 × 131072)
    floor (65154.5)     		ty = 65154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68510 / 65154 ti = "17/68510/65154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68510/65154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68510 ÷ 217
    68510 ÷ 131072     		x = 0.522689819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65154 ÷ 217
    65154 ÷ 131072     		y = 0.497085571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522689819335938 × 2 - 1) × π
    0.045379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14256434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497085571289062 × 2 - 1) × π
    0.005828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0183118956548615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14256434} λ = 0.14256434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0183118956548615))-π/2
    2×atan(1.01848058652611)-π/2
    2×0.79455359956394-π/2
    1.58910719912788-1.57079632675     		φ = 0.01831087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14256434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.168335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01831087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.049136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68510 KachelY 65154 0.14256434 0.01831087 8.168335 1.049136
    Oben rechts KachelX + 1 68511 KachelY 65154 0.14261228 0.01831087 8.171082 1.049136
    Unten links KachelX 68510 KachelY + 1 65155 0.14256434 0.01826294 8.168335 1.046389
    Unten rechts KachelX + 1 68511 KachelY + 1 65155 0.14261228 0.01826294 8.171082 1.046389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01831087-0.01826294) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01831087-0.01826294) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14256434-0.14261228) × cos(0.01831087) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999832360703953 × 6371000     		do = 305.374538643928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14256434-0.14261228) × cos(0.01826294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999833237146459 × 6371000     		du = 305.374806332029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01831087)-sin(0.01826294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999832360703953-0.999833237146459)×R²
    abs(0.14261228-0.14256434)×8.76442506014818e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.76442506014818e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.76442506014818e-07×40589641000000     		ar = 93249.8299193718m²