Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68504 / 65175
↖ ↑ ↗
← N  0.991467°
E  8.151856°		 ← 305.32 m → N  0.991467°
E  8.154602°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.988721°
E  8.151856°		 ← 305.32 m →
93 232 m²		 N  0.988721°
E  8.154602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522647857666016 y=0.497249603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522647857666016 × 217)
    floor (0.522647857666016 × 131072)
    floor (68504.5)     		tx = 68504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497249603271484 × 217)
    floor (0.497249603271484 × 131072)
    floor (65175.5)     		ty = 65175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68504 / 65175 ti = "17/68504/65175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68504/65175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68504 ÷ 217
    68504 ÷ 131072     		x = 0.52264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65175 ÷ 217
    65175 ÷ 131072     		y = 0.497245788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52264404296875 × 2 - 1) × π
    0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497245788574219 × 2 - 1) × π
    0.0055084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0173052207628403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14227672} λ = 0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0173052207628403))-π/2
    2×atan(1.01745582357974)-π/2
    2×0.794050341944033-π/2
    1.58810068388807-1.57079632675     		φ = 0.01730436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01730436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.991467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68504 KachelY 65175 0.14227672 0.01730436 8.151856 0.991467
    Oben rechts KachelX + 1 68505 KachelY 65175 0.14232465 0.01730436 8.154602 0.991467
    Unten links KachelX 68504 KachelY + 1 65176 0.14227672 0.01725643 8.151856 0.988721
    Unten rechts KachelX + 1 68505 KachelY + 1 65176 0.14232465 0.01725643 8.154602 0.988721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01730436-0.01725643) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01730436-0.01725643) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14227672-0.14232465) × cos(0.01730436) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999850283298493 × 6371000     		do = 305.316312204113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14227672-0.14232465) × cos(0.01725643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999851111506605 × 6371000     		du = 305.316565107423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01730436)-sin(0.01725643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999850283298493-0.999851111506605)×R²
    abs(0.14232465-0.14227672)×8.28208111980366e-07×R²
    4.79300000000016e-05×8.28208111980366e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.28208111980366e-07×40589641000000     		ar = 93232.0475181482m²