Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68501 / 65714
↖ ↑ ↗
← S  0.488885°
E  8.143616°		 ← 305.35 m → S  0.488885°
E  8.146362°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.491632°
E  8.143616°		 ← 305.35 m →
93 262 m²		 S  0.491632°
E  8.146362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522624969482422 y=0.501361846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522624969482422 × 217)
    floor (0.522624969482422 × 131072)
    floor (68501.5)     		tx = 68501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501361846923828 × 217)
    floor (0.501361846923828 × 131072)
    floor (65714.5)     		ty = 65714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68501 / 65714 ti = "17/68501/65714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68501/65714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68501 ÷ 217
    68501 ÷ 131072     		x = 0.522621154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65714 ÷ 217
    65714 ÷ 131072     		y = 0.501358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522621154785156 × 2 - 1) × π
    0.0452423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14213291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.002716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00853276813236999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14213291} λ = 0.14213291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00853276813236999))-π/2
    2×atan(0.991503532611645)-π/2
    2×0.781131831101563-π/2
    1.56226366220313-1.57079632675     		φ = -0.00853266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14213291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.143616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00853266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.488885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68501 KachelY 65714 0.14213291 -0.00853266 8.143616 -0.488885
    Oben rechts KachelX + 1 68502 KachelY 65714 0.14218084 -0.00853266 8.146362 -0.488885
    Unten links KachelX 68501 KachelY + 1 65715 0.14213291 -0.00858060 8.143616 -0.491632
    Unten rechts KachelX + 1 68502 KachelY + 1 65715 0.14218084 -0.00858060 8.146362 -0.491632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00853266--0.00858060) × R
    4.79400000000015e-05 × 6371000     		dl = 305.42574000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00853266--0.00858060) × R
    4.79400000000015e-05 × 6371000     		dr = 305.42574000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14213291-0.14218084) × cos(-0.00853266) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999963597077526 × 6371000     		do = 305.350913929706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14213291-0.14218084) × cos(-0.00858060) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99996318687769 × 6371000     		du = 305.350788670251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00853266)-sin(-0.00858060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999963597077526-0.99996318687769)×R²
    abs(0.14218084-0.14213291)×4.10199836542446e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.10199836542446e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.10199836542446e-07×40589641000000     		ar = 93262.0097357914m²