Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6850 / 7622
↖ ↑ ↗
← S 82.344100°
E121.025390°		 ← 651 m → S 82.344100°
E121.069336°		 →
↑
650.80 m
↓
↑
650.80 m
↓
S 82.349953°
E121.025390°		 ← 650.51 m →
423 511 m²		 S 82.349953°
E121.069336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83624267578125 y=0.93048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83624267578125 × 213)
    floor (0.83624267578125 × 8192)
    floor (6850.5)     		tx = 6850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93048095703125 × 213)
    floor (0.93048095703125 × 8192)
    floor (7622.5)     		ty = 7622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6850 / 7622 ti = "13/6850/7622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6850/7622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6850 ÷ 213
    6850 ÷ 8192     		x = 0.836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7622 ÷ 213
    7622 ÷ 8192     		y = 0.930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.836181640625 × 2 - 1) × π
    0.67236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.11229154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.86083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70440812896509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11229154} λ = 2.11229154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70440812896509))-π/2
    2×atan(0.0669099141694007)-π/2
    2×0.066810331047711-π/2
    0.133620662095422-1.57079632675     		φ = -1.43717566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11229154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.025390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43717566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.344100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6850 KachelY 7622 2.11229154 -1.43717566 121.025390 -82.344100
    Oben rechts KachelX + 1 6851 KachelY 7622 2.11305854 -1.43717566 121.069336 -82.344100
    Unten links KachelX 6850 KachelY + 1 7623 2.11229154 -1.43727781 121.025390 -82.349953
    Unten rechts KachelX + 1 6851 KachelY + 1 7623 2.11305854 -1.43727781 121.069336 -82.349953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43717566--1.43727781) × R
    0.000102150000000023 × 6371000     		dl = 650.797650000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43717566--1.43727781) × R
    0.000102150000000023 × 6371000     		dr = 650.797650000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11229154-2.11305854) × cos(-1.43717566) × R
    0.00076699999999974 × 0.133223400298578 × 6371000     		do = 651.003739292596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11229154-2.11305854) × cos(-1.43727781) × R
    0.00076699999999974 × 0.133122160165373 × 6371000     		du = 650.509023611005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43717566)-sin(-1.43727781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133223400298578-0.133122160165373)×R²
    abs(2.11305854-2.11229154)×0.000101240133204367×R²
    0.00076699999999974×0.000101240133204367×6371000²
    0.00076699999999974×0.000101240133204367×40589641000000     		ar = 423510.724139555m²