Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68498 / 65138
↖ ↑ ↗
← N  1.093073°
E  8.135376°		 ← 305.31 m → N  1.093073°
E  8.138122°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.090327°
E  8.135376°		 ← 305.31 m →
93 229 m²		 N  1.090327°
E  8.138122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522602081298828 y=0.496967315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522602081298828 × 217)
    floor (0.522602081298828 × 131072)
    floor (68498.5)     		tx = 68498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496967315673828 × 217)
    floor (0.496967315673828 × 131072)
    floor (65138.5)     		ty = 65138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68498 / 65138 ti = "17/68498/65138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68498/65138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68498 ÷ 217
    68498 ÷ 131072     		x = 0.522598266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65138 ÷ 217
    65138 ÷ 131072     		y = 0.496963500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522598266601562 × 2 - 1) × π
    0.045196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14198910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496963500976562 × 2 - 1) × π
    0.006072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0190788860487823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14198910} λ = 0.14198910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0190788860487823))-π/2
    2×atan(1.01926205100193)-π/2
    2×0.7949370277421-π/2
    1.5898740554842-1.57079632675     		φ = 0.01907773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14198910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.135376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01907773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.093073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68498 KachelY 65138 0.14198910 0.01907773 8.135376 1.093073
    Oben rechts KachelX + 1 68499 KachelY 65138 0.14203703 0.01907773 8.138122 1.093073
    Unten links KachelX 68498 KachelY + 1 65139 0.14198910 0.01902980 8.135376 1.090327
    Unten rechts KachelX + 1 68499 KachelY + 1 65139 0.14203703 0.01902980 8.138122 1.090327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01907773-0.01902980) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01907773-0.01902980) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14198910-0.14203703) × cos(0.01907773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999818025628403 × 6371000     		do = 305.306461936491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14198910-0.14203703) × cos(0.01902980) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999818938820102 × 6371000     		du = 305.306740790562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01907773)-sin(0.01902980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999818025628403-0.999818938820102)×R²
    abs(0.14203703-0.14198910)×9.13191698925786e-07×R²
    4.79300000000016e-05×9.13191698925786e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.13191698925786e-07×40589641000000     		ar = 93229.0435826162m²