Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68483 / 65155
↖ ↑ ↗
← N  1.046389°
E  8.094177°		 ← 305.37 m → N  1.046389°
E  8.096924°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.043643°
E  8.094177°		 ← 305.38 m →
93 250 m²		 N  1.043643°
E  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522487640380859 y=0.497097015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522487640380859 × 217)
    floor (0.522487640380859 × 131072)
    floor (68483.5)     		tx = 68483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497097015380859 × 217)
    floor (0.497097015380859 × 131072)
    floor (65155.5)     		ty = 65155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68483 / 65155 ti = "17/68483/65155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68483/65155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68483 ÷ 217
    68483 ÷ 131072     		x = 0.522483825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65155 ÷ 217
    65155 ÷ 131072     		y = 0.497093200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522483825683594 × 2 - 1) × π
    0.0449676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14127004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497093200683594 × 2 - 1) × π
    0.0058135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0182639587552414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14127004} λ = 0.14127004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0182639587552414))-π/2
    2×atan(1.01843176489465)-π/2
    2×0.794529635121677-π/2
    1.58905927024335-1.57079632675     		φ = 0.01826294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14127004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.094177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01826294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.046389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68483 KachelY 65155 0.14127004 0.01826294 8.094177 1.046389
    Oben rechts KachelX + 1 68484 KachelY 65155 0.14131798 0.01826294 8.096924 1.046389
    Unten links KachelX 68483 KachelY + 1 65156 0.14127004 0.01821501 8.094177 1.043643
    Unten rechts KachelX + 1 68484 KachelY + 1 65156 0.14131798 0.01821501 8.096924 1.043643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01826294-0.01821501) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01826294-0.01821501) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14127004-0.14131798) × cos(0.01826294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999833237146459 × 6371000     		do = 305.374806332029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14127004-0.14131798) × cos(0.01821501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999834111292063 × 6371000     		du = 305.375073318597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01826294)-sin(0.01821501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999833237146459-0.999834111292063)×R²
    abs(0.14131798-0.14127004)×8.74145604234933e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.74145604234933e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.74145604234933e-07×40589641000000     		ar = 93249.9115540361m²