Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68456 / 65384
↖ ↑ ↗
← N  0.417477°
E  8.020020°		 ← 305.35 m → N  0.417477°
E  8.022766°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.414730°
E  8.020020°		 ← 305.35 m →
93 244 m²		 N  0.414730°
E  8.022766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522281646728516 y=0.498844146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522281646728516 × 217)
    floor (0.522281646728516 × 131072)
    floor (68456.5)     		tx = 68456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498844146728516 × 217)
    floor (0.498844146728516 × 131072)
    floor (65384.5)     		ty = 65384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68456 / 65384 ti = "17/68456/65384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68456/65384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68456 ÷ 217
    68456 ÷ 131072     		x = 0.52227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65384 ÷ 217
    65384 ÷ 131072     		y = 0.49884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52227783203125 × 2 - 1) × π
    0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49884033203125 × 2 - 1) × π
    0.0023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00728640874224854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13997575} λ = 0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00728640874224854))-π/2
    2×atan(1.00731301921075)-π/2
    2×0.78904133553165-π/2
    1.5780826710633-1.57079632675     		φ = 0.00728634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00728634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.417477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68456 KachelY 65384 0.13997575 0.00728634 8.020020 0.417477
    Oben rechts KachelX + 1 68457 KachelY 65384 0.14002368 0.00728634 8.022766 0.417477
    Unten links KachelX 68456 KachelY + 1 65385 0.13997575 0.00723841 8.020020 0.414730
    Unten rechts KachelX + 1 68457 KachelY + 1 65385 0.14002368 0.00723841 8.022766 0.414730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00728634-0.00723841) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00728634-0.00723841) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13997575-0.14002368) × cos(0.00728634) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999973454742145 × 6371000     		do = 305.353924086185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13997575-0.14002368) × cos(0.00723841) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999973802824719 × 6371000     		du = 305.354030377386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00728634)-sin(0.00723841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999973454742145-0.999973802824719)×R²
    abs(0.14002368-0.13997575)×3.4808257387553e-07×R²
    4.79300000000016e-05×3.4808257387553e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.4808257387553e-07×40589641000000     		ar = 93243.5103739224m²