Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68432 / 65360
↖ ↑ ↗
← N  0.483392°
E  7.954101°		 ← 305.41 m → N  0.483392°
E  7.956848°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.480646°
E  7.954101°		 ← 305.41 m →
93 262 m²		 N  0.480646°
E  7.956848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522098541259766 y=0.498661041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522098541259766 × 217)
    floor (0.522098541259766 × 131072)
    floor (68432.5)     		tx = 68432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498661041259766 × 217)
    floor (0.498661041259766 × 131072)
    floor (65360.5)     		ty = 65360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68432 / 65360 ti = "17/68432/65360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68432/65360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68432 ÷ 217
    68432 ÷ 131072     		x = 0.5220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65360 ÷ 217
    65360 ÷ 131072     		y = 0.4986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    0.002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13882526} λ = 0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00843689433312988))-π/2
    2×atan(1.00847258522895)-π/2
    2×0.789616560519225-π/2
    1.57923312103845-1.57079632675     		φ = 0.00843679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00843679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.483392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68432 KachelY 65360 0.13882526 0.00843679 7.954101 0.483392
    Oben rechts KachelX + 1 68433 KachelY 65360 0.13887320 0.00843679 7.956848 0.483392
    Unten links KachelX 68432 KachelY + 1 65361 0.13882526 0.00838886 7.954101 0.480646
    Unten rechts KachelX + 1 68433 KachelY + 1 65361 0.13887320 0.00838886 7.956848 0.480646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00843679-0.00838886) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00843679-0.00838886) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13882526-0.13887320) × cos(0.00843679) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999964410498352 × 6371000     		do = 305.414870050099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13882526-0.13887320) × cos(0.00838886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999964813720298 × 6371000     		du = 305.414993204461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00843679)-sin(0.00838886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999964410498352-0.999964813720298)×R²
    abs(0.13887320-0.13882526)×4.03221945832755e-07×R²
    4.79399999999963e-05×4.03221945832755e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.03221945832755e-07×40589641000000     		ar = 93262.123531873m²