Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68432 / 65232
↖ ↑ ↗
← N  0.834931°
E  7.954101°		 ← 305.39 m → N  0.834931°
E  7.956848°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.832185°
E  7.954101°		 ← 305.39 m →
93 256 m²		 N  0.832185°
E  7.956848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522098541259766 y=0.497684478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522098541259766 × 217)
    floor (0.522098541259766 × 131072)
    floor (68432.5)     		tx = 68432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497684478759766 × 217)
    floor (0.497684478759766 × 131072)
    floor (65232.5)     		ty = 65232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68432 / 65232 ti = "17/68432/65232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68432/65232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68432 ÷ 217
    68432 ÷ 131072     		x = 0.5220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65232 ÷ 217
    65232 ÷ 131072     		y = 0.4976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    0.004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13882526} λ = 0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0145728174844971))-π/2
    2×atan(1.01467951867147)-π/2
    2×0.792684314254583-π/2
    1.58536862850917-1.57079632675     		φ = 0.01457230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01457230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.834931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68432 KachelY 65232 0.13882526 0.01457230 7.954101 0.834931
    Oben rechts KachelX + 1 68433 KachelY 65232 0.13887320 0.01457230 7.956848 0.834931
    Unten links KachelX 68432 KachelY + 1 65233 0.13882526 0.01452437 7.954101 0.832185
    Unten rechts KachelX + 1 68433 KachelY + 1 65233 0.13887320 0.01452437 7.956848 0.832185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01457230-0.01452437) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01457230-0.01452437) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13882526-0.13887320) × cos(0.01457230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999893825915231 × 6371000     		do = 305.393311701567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13882526-0.13887320) × cos(0.01452437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99989452319233 × 6371000     		du = 305.393524667941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01457230)-sin(0.01452437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999893825915231-0.99989452319233)×R²
    abs(0.13887320-0.13882526)×6.97277098948845e-07×R²
    4.79399999999963e-05×6.97277098948845e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.97277098948845e-07×40589641000000     		ar = 93255.5541433857m²