Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68428 / 65356
↖ ↑ ↗
← N  0.494378°
E  7.943115°		 ← 305.41 m → N  0.494378°
E  7.945862°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.491632°
E  7.943115°		 ← 305.41 m →
93 262 m²		 N  0.491632°
E  7.945862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522068023681641 y=0.498630523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522068023681641 × 217)
    floor (0.522068023681641 × 131072)
    floor (68428.5)     		tx = 68428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498630523681641 × 217)
    floor (0.498630523681641 × 131072)
    floor (65356.5)     		ty = 65356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68428 / 65356 ti = "17/68428/65356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68428/65356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68428 ÷ 217
    68428 ÷ 131072     		x = 0.522064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65356 ÷ 217
    65356 ÷ 131072     		y = 0.498626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522064208984375 × 2 - 1) × π
    0.04412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13863351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498626708984375 × 2 - 1) × π
    0.00274658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00862864193161011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13863351} λ = 0.13863351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00862864193161011))-π/2
    2×atan(1.00866597596582)-π/2
    2×0.789712430828228-π/2
    1.57942486165646-1.57079632675     		φ = 0.00862853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13863351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00862853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.494378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68428 KachelY 65356 0.13863351 0.00862853 7.943115 0.494378
    Oben rechts KachelX + 1 68429 KachelY 65356 0.13868145 0.00862853 7.945862 0.494378
    Unten links KachelX 68428 KachelY + 1 65357 0.13863351 0.00858060 7.943115 0.491632
    Unten rechts KachelX + 1 68429 KachelY + 1 65357 0.13868145 0.00858060 7.945862 0.491632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00862853-0.00858060) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00862853-0.00858060) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13863351-0.13868145) × cos(0.00862853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999962774465979 × 6371000     		do = 305.414370363878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13863351-0.13868145) × cos(0.00858060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99996318687769 × 6371000     		du = 305.41449632503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00862853)-sin(0.00858060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999962774465979-0.99996318687769)×R²
    abs(0.13868145-0.13863351)×4.1241171133688e-07×R²
    4.79400000000241e-05×4.1241171133688e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×4.1241171133688e-07×40589641000000     		ar = 93261.9713752165m²