Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68426 / 65354
↖ ↑ ↗
← N  0.499872°
E  7.937622°		 ← 305.41 m → N  0.499872°
E  7.940369°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.497125°
E  7.937622°		 ← 305.41 m →
93 281 m²		 N  0.497125°
E  7.940369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522052764892578 y=0.498615264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522052764892578 × 217)
    floor (0.522052764892578 × 131072)
    floor (68426.5)     		tx = 68426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498615264892578 × 217)
    floor (0.498615264892578 × 131072)
    floor (65354.5)     		ty = 65354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68426 / 65354 ti = "17/68426/65354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68426/65354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68426 ÷ 217
    68426 ÷ 131072     		x = 0.522048950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65354 ÷ 217
    65354 ÷ 131072     		y = 0.498611450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522048950195312 × 2 - 1) × π
    0.044097900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13853764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498611450195312 × 2 - 1) × π
    0.002777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00872451573085022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13853764} λ = 0.13853764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00872451573085022))-π/2
    2×atan(1.00876268524097)-π/2
    2×0.789760365923469-π/2
    1.57952073184694-1.57079632675     		φ = 0.00872441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13853764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.937622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00872441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.499872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68426 KachelY 65354 0.13853764 0.00872441 7.937622 0.499872
    Oben rechts KachelX + 1 68427 KachelY 65354 0.13858558 0.00872441 7.940369 0.499872
    Unten links KachelX 68426 KachelY + 1 65355 0.13853764 0.00867647 7.937622 0.497125
    Unten rechts KachelX + 1 68427 KachelY + 1 65355 0.13858558 0.00867647 7.940369 0.497125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00872441-0.00867647) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00872441-0.00867647) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13853764-0.13858558) × cos(0.00872441) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999961942576473 × 6371000     		do = 305.41411628341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13853764-0.13858558) × cos(0.00867647) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999962359670304 × 6371000     		du = 305.414243674602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00872441)-sin(0.00867647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999961942576473-0.999962359670304)×R²
    abs(0.13858558-0.13853764)×4.17093831361903e-07×R²
    4.79400000000241e-05×4.17093831361903e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×4.17093831361903e-07×40589641000000     		ar = 93281.3519444474m²