Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68424 / 65224
↖ ↑ ↗
← N  0.856902°
E  7.932129°		 ← 305.33 m → N  0.856902°
E  7.934875°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.854155°
E  7.932129°		 ← 305.33 m →
93 255 m²		 N  0.854155°
E  7.934875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522037506103516 y=0.497623443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522037506103516 × 217)
    floor (0.522037506103516 × 131072)
    floor (68424.5)     		tx = 68424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497623443603516 × 217)
    floor (0.497623443603516 × 131072)
    floor (65224.5)     		ty = 65224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68424 / 65224 ti = "17/68424/65224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68424/65224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68424 ÷ 217
    68424 ÷ 131072     		x = 0.52203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65224 ÷ 217
    65224 ÷ 131072     		y = 0.49761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52203369140625 × 2 - 1) × π
    0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13844177} λ = 0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(1.01506871801661)-π/2
    2×0.792876040954029-π/2
    1.58575208190806-1.57079632675     		φ = 0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68424 KachelY 65224 0.13844177 0.01495576 7.932129 0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 68425 KachelY 65224 0.13848970 0.01495576 7.934875 0.856902
    Unten links KachelX 68424 KachelY + 1 65225 0.13844177 0.01490782 7.932129 0.854155
    Unten rechts KachelX + 1 68425 KachelY + 1 65225 0.13848970 0.01490782 7.934875 0.854155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01495576-0.01490782) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01495576-0.01490782) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13844177-0.13848970) × cos(0.01495576) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 305.327879747607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13844177-0.13848970) × cos(0.01490782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999888880509408 × 6371000     		du = 305.32809832679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01495576)-sin(0.01490782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.999888880509408)×R²
    abs(0.13848970-0.13844177)×7.15803412765226e-07×R²
    4.79300000000016e-05×7.15803412765226e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.15803412765226e-07×40589641000000     		ar = 93255.0270122579m²