Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68421 / 65853
↖ ↑ ↗
← S  0.870633°
E  7.923889°		 ← 305.33 m → S  0.870633°
E  7.926636°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.873379°
E  7.923889°		 ← 305.33 m →
93 235 m²		 S  0.873379°
E  7.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522014617919922 y=0.502422332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522014617919922 × 217)
    floor (0.522014617919922 × 131072)
    floor (68421.5)     		tx = 68421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502422332763672 × 217)
    floor (0.502422332763672 × 131072)
    floor (65853.5)     		ty = 65853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68421 / 65853 ti = "17/68421/65853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68421/65853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68421 ÷ 217
    68421 ÷ 131072     		x = 0.522010803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65853 ÷ 217
    65853 ÷ 131072     		y = 0.502418518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522010803222656 × 2 - 1) × π
    0.0440216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13829796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502418518066406 × 2 - 1) × π
    -0.0048370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0151959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13829796} λ = 0.13829796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0151959971795578))-π/2
    2×atan(0.984918879361601)-π/2
    2×0.777800457210314-π/2
    1.55560091442063-1.57079632675     		φ = -0.01519541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13829796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.923889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01519541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.870633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68421 KachelY 65853 0.13829796 -0.01519541 7.923889 -0.870633
    Oben rechts KachelX + 1 68422 KachelY 65853 0.13834589 -0.01519541 7.926636 -0.870633
    Unten links KachelX 68421 KachelY + 1 65854 0.13829796 -0.01524334 7.923889 -0.873379
    Unten rechts KachelX + 1 68422 KachelY + 1 65854 0.13834589 -0.01524334 7.926636 -0.873379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01519541--0.01524334) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01519541--0.01524334) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13829796-0.13834589) × cos(-0.01519541) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999884551978909 × 6371000     		do = 305.32677655793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13829796-0.13834589) × cos(-0.01524334) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999883822542425 × 6371000     		du = 305.326553815725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01519541)-sin(-0.01524334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999884551978909-0.999883822542425)×R²
    abs(0.13834589-0.13829796)×7.29436483104529e-07×R²
    4.79300000000016e-05×7.29436483104529e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.29436483104529e-07×40589641000000     		ar = 93235.1703124309m²