Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68399 / 65839
↖ ↑ ↗
← S  0.832185°
E  7.863464°		 ← 305.39 m → S  0.832185°
E  7.866211°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.834931°
E  7.863464°		 ← 305.39 m →
93 256 m²		 S  0.834931°
E  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521846771240234 y=0.502315521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521846771240234 × 217)
    floor (0.521846771240234 × 131072)
    floor (68399.5)     		tx = 68399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502315521240234 × 217)
    floor (0.502315521240234 × 131072)
    floor (65839.5)     		ty = 65839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68399 / 65839 ti = "17/68399/65839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68399/65839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68399 ÷ 217
    68399 ÷ 131072     		x = 0.521842956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65839 ÷ 217
    65839 ÷ 131072     		y = 0.502311706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521842956542969 × 2 - 1) × π
    0.0436859130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13724334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502311706542969 × 2 - 1) × π
    -0.0046234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.014524880584877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13724334} λ = 0.13724334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.014524880584877))-π/2
    2×atan(0.985580096618074)-π/2
    2×0.778135978453656-π/2
    1.55627195690731-1.57079632675     		φ = -0.01452437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13724334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.863464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01452437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.832185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68399 KachelY 65839 0.13724334 -0.01452437 7.863464 -0.832185
    Oben rechts KachelX + 1 68400 KachelY 65839 0.13729128 -0.01452437 7.866211 -0.832185
    Unten links KachelX 68399 KachelY + 1 65840 0.13724334 -0.01457230 7.863464 -0.834931
    Unten rechts KachelX + 1 68400 KachelY + 1 65840 0.13729128 -0.01457230 7.866211 -0.834931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01452437--0.01457230) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01452437--0.01457230) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13724334-0.13729128) × cos(-0.01452437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99989452319233 × 6371000     		do = 305.393524667941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13724334-0.13729128) × cos(-0.01457230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999893825915231 × 6371000     		du = 305.393311701567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01452437)-sin(-0.01457230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99989452319233-0.999893825915231)×R²
    abs(0.13729128-0.13724334)×6.97277098948845e-07×R²
    4.79399999999963e-05×6.97277098948845e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.97277098948845e-07×40589641000000     		ar = 93255.5541433857m²