Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68398 / 43822
↖ ↑ ↗
← N 51.100072°
E  7.860718°		 ← 191.76 m → N 51.100072°
E  7.863464°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
N 51.098348°
E  7.860718°		 ← 191.76 m →
36 773 m²		 N 51.098348°
E  7.863464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521839141845703 y=0.334339141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521839141845703 × 217)
    floor (0.521839141845703 × 131072)
    floor (68398.5)     		tx = 68398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334339141845703 × 217)
    floor (0.334339141845703 × 131072)
    floor (43822.5)     		ty = 43822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68398 / 43822 ti = "17/68398/43822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68398/43822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68398 ÷ 217
    68398 ÷ 131072     		x = 0.521835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43822 ÷ 217
    43822 ÷ 131072     		y = 0.334335327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521835327148438 × 2 - 1) × π
    0.043670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13719541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334335327148438 × 2 - 1) × π
    0.331329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0409018383499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13719541} λ = 0.13719541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0409018383499))-π/2
    2×atan(2.83176966161988)-π/2
    2×1.23133042058637-π/2
    2.46266084117275-1.57079632675     		φ = 0.89186451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13719541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.860718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89186451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.100072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68398 KachelY 43822 0.13719541 0.89186451 7.860718 51.100072
    Oben rechts KachelX + 1 68399 KachelY 43822 0.13724334 0.89186451 7.863464 51.100072
    Unten links KachelX 68398 KachelY + 1 43823 0.13719541 0.89183441 7.860718 51.098348
    Unten rechts KachelX + 1 68399 KachelY + 1 43823 0.13724334 0.89183441 7.863464 51.098348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89186451-0.89183441) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dl = 191.767100000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89186451-0.89183441) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dr = 191.767100000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13719541-0.13724334) × cos(0.89186451) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62796207532629 × 6371000     		do = 191.755774084655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13719541-0.13724334) × cos(0.89183441) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.627985500184445 × 6371000     		du = 191.762927146894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89186451)-sin(0.89183441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62796207532629-0.627985500184445)×R²
    abs(0.13724334-0.13719541)×2.34248581554297e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34248581554297e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34248581554297e-05×40589641000000     		ar = 36773.1345682096m²