Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68386 / 65442
↖ ↑ ↗
← N  0.258178°
E  7.827759°		 ← 305.42 m → N  0.258178°
E  7.830505°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.255431°
E  7.827759°		 ← 305.42 m →
93 264 m²		 N  0.255431°
E  7.830505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521747589111328 y=0.499286651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521747589111328 × 217)
    floor (0.521747589111328 × 131072)
    floor (68386.5)     		tx = 68386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499286651611328 × 217)
    floor (0.499286651611328 × 131072)
    floor (65442.5)     		ty = 65442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68386 / 65442 ti = "17/68386/65442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68386/65442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68386 ÷ 217
    68386 ÷ 131072     		x = 0.521743774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65442 ÷ 217
    65442 ÷ 131072     		y = 0.499282836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521743774414062 × 2 - 1) × π
    0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499282836914062 × 2 - 1) × π
    0.001434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00450606856428528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13662016} λ = 0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00450606856428528))-π/2
    2×atan(1.00451623615746)-π/2
    2×0.787651190055116-π/2
    1.57530238011023-1.57079632675     		φ = 0.00450605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00450605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.258178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68386 KachelY 65442 0.13662016 0.00450605 7.827759 0.258178
    Oben rechts KachelX + 1 68387 KachelY 65442 0.13666810 0.00450605 7.830505 0.258178
    Unten links KachelX 68386 KachelY + 1 65443 0.13662016 0.00445812 7.827759 0.255431
    Unten rechts KachelX + 1 68387 KachelY + 1 65443 0.13666810 0.00445812 7.830505 0.255431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00450605-0.00445812) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00450605-0.00445812) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13662016-0.13666810) × cos(0.00450605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999989847773877 × 6371000     		do = 305.4226392488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13662016-0.13666810) × cos(0.00445812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999990062599492 × 6371000     		du = 305.422704862073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00450605)-sin(0.00445812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989847773877-0.999990062599492)×R²
    abs(0.13666810-0.13662016)×2.14825614741621e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.14825614741621e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14825614741621e-07×40589641000000     		ar = 93264.4871647267m²