Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68332 / 65500
↖ ↑ ↗
← N  0.098877°
E  7.679443°		 ← 305.43 m → N  0.098877°
E  7.682190°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.096130°
E  7.679443°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.096130°
E  7.682190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521335601806641 y=0.499729156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521335601806641 × 217)
    floor (0.521335601806641 × 131072)
    floor (68332.5)     		tx = 68332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499729156494141 × 217)
    floor (0.499729156494141 × 131072)
    floor (65500.5)     		ty = 65500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68332 / 65500 ti = "17/68332/65500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68332/65500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68332 ÷ 217
    68332 ÷ 131072     		x = 0.521331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65500 ÷ 217
    65500 ÷ 131072     		y = 0.499725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521331787109375 × 2 - 1) × π
    0.04266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13403157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499725341796875 × 2 - 1) × π
    0.00054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00172572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13403157} λ = 0.13403157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00172572838632202))-π/2
    2×atan(1.0017272183125)-π/2
    2×0.786261027162321-π/2
    1.57252205432464-1.57079632675     		φ = 0.00172573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13403157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00172573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.098877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68332 KachelY 65500 0.13403157 0.00172573 7.679443 0.098877
    Oben rechts KachelX + 1 68333 KachelY 65500 0.13407951 0.00172573 7.682190 0.098877
    Unten links KachelX 68332 KachelY + 1 65501 0.13403157 0.00167779 7.679443 0.096130
    Unten rechts KachelX + 1 68333 KachelY + 1 65501 0.13407951 0.00167779 7.682190 0.096130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00172573-0.00167779) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00172573-0.00167779) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13403157-0.13407951) × cos(0.00172573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999998510928353 × 6371000     		do = 305.425285199344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13403157-0.13407951) × cos(0.00167779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999998592510688 × 6371000     		du = 305.425310116689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00172573)-sin(0.00167779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998510928353-0.999998592510688)×R²
    abs(0.13407951-0.13403157)×8.15823349986644e-08×R²
    4.79400000000241e-05×8.15823349986644e-08×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.15823349986644e-08×40589641000000     		ar = 93284.7475697859m²