Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68325 / 65509
↖ ↑ ↗
← N  0.074158°
E  7.660217°		 ← 305.43 m → N  0.074158°
E  7.662964°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.071411°
E  7.660217°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.071411°
E  7.662964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521282196044922 y=0.499797821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521282196044922 × 217)
    floor (0.521282196044922 × 131072)
    floor (68325.5)     		tx = 68325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499797821044922 × 217)
    floor (0.499797821044922 × 131072)
    floor (65509.5)     		ty = 65509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68325 / 65509 ti = "17/68325/65509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68325/65509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68325 ÷ 217
    68325 ÷ 131072     		x = 0.521278381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65509 ÷ 217
    65509 ÷ 131072     		y = 0.499794006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521278381347656 × 2 - 1) × π
    0.0425567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13369601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499794006347656 × 2 - 1) × π
    0.0004119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00129429628974152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13369601} λ = 0.13369601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00129429628974152))-π/2
    2×atan(1.00129513425267)-π/2
    2×0.786045311361635-π/2
    1.57209062272327-1.57079632675     		φ = 0.00129430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13369601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.660217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00129430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.074158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68325 KachelY 65509 0.13369601 0.00129430 7.660217 0.074158
    Oben rechts KachelX + 1 68326 KachelY 65509 0.13374395 0.00129430 7.662964 0.074158
    Unten links KachelX 68325 KachelY + 1 65510 0.13369601 0.00124636 7.660217 0.071411
    Unten rechts KachelX + 1 68326 KachelY + 1 65510 0.13374395 0.00124636 7.662964 0.071411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00129430-0.00124636) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00129430-0.00124636) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13369601-0.13374395) × cos(0.00129430) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999162393872 × 6371000     		do = 305.425484173505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13369601-0.13374395) × cos(0.00124636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999223293476 × 6371000     		du = 305.425502773812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00129430)-sin(0.00124636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999162393872-0.999999223293476)×R²
    abs(0.13374395-0.13369601)×6.08996039153098e-08×R²
    4.79399999999963e-05×6.08996039153098e-08×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.08996039153098e-08×40589641000000     		ar = 93284.8073769232m²