Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68321 / 65505
N  0.085144°
E  7.649231°
← 305.36 m → N  0.085144°
E  7.651977°

305.36 m

305.36 m
N  0.082398°
E  7.649231°
← 305.36 m →
93 246 m²
N  0.082398°
E  7.651977°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521251678466797 y=0.499767303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521251678466797 × 217)
    floor (0.521251678466797 × 131072)
    floor (68321.5)
    tx = 68321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499767303466797 × 217)
    floor (0.499767303466797 × 131072)
    floor (65505.5)
    ty = 65505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68321 / 65505 ti = "17/68321/65505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68321/65505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68321 ÷ 217
    68321 ÷ 131072
    x = 0.521247863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65505 ÷ 217
    65505 ÷ 131072
    y = 0.499763488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.521247863769531 × 2 - 1) × π
    0.0424957275390625 × 3.1415926535
    Λ = 0.13350427
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.499763488769531 × 2 - 1) × π
    0.0004730224609375 × 3.1415926535
    Φ = 0.00148604388822174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13350427} λ = 0.13350427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00148604388822174))-π/2
    2×atan(1.00148714859859)-π/2
    2×0.786141185068087-π/2
    1.57228237013617-1.57079632675
    φ = 0.00148604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13350427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00148604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.085144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68321 KachelY 65505 0.13350427 0.00148604 7.649231 0.085144
    Oben rechts KachelX + 1 68322 KachelY 65505 0.13355220 0.00148604 7.651977 0.085144
    Unten links KachelX 68321 KachelY + 1 65506 0.13350427 0.00143811 7.649231 0.082398
    Unten rechts KachelX + 1 68322 KachelY + 1 65506 0.13355220 0.00143811 7.651977 0.082398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.00148604-0.00143811) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000
    dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.00148604-0.00143811) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000
    dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.13350427-0.13355220) × cos(0.00148604) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999998895842762 × 6371000
    do = 305.361692832315m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.13350427-0.13355220) × cos(0.00143811) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999998965919992 × 6371000
    du = 305.36171423124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.00148604)-sin(0.00143811))×
    abs(λ12)×abs(0.999998895842762-0.999998965919992)×
    abs(0.13355220-0.13350427)×7.00772297967944e-08×
    4.79300000000016e-05×7.00772297967944e-08×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.00772297967944e-08×40589641000000
    ar = 93245.8696925728m²