Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68321 / 65439
↖ ↑ ↗
← N  0.266417°
E  7.649231°		 ← 305.36 m → N  0.266417°
E  7.651977°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.263671°
E  7.649231°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 N  0.263671°
E  7.651977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521251678466797 y=0.499263763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521251678466797 × 217)
    floor (0.521251678466797 × 131072)
    floor (68321.5)     		tx = 68321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499263763427734 × 217)
    floor (0.499263763427734 × 131072)
    floor (65439.5)     		ty = 65439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68321 / 65439 ti = "17/68321/65439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68321/65439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68321 ÷ 217
    68321 ÷ 131072     		x = 0.521247863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65439 ÷ 217
    65439 ÷ 131072     		y = 0.499259948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521247863769531 × 2 - 1) × π
    0.0424957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13350427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499259948730469 × 2 - 1) × π
    0.0014801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00464987926314545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13350427} λ = 0.13350427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00464987926314545))-π/2
    2×atan(1.00466070672736)-π/2
    2×0.787723094651-π/2
    1.575446189302-1.57079632675     		φ = 0.00464986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13350427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00464986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.266417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68321 KachelY 65439 0.13350427 0.00464986 7.649231 0.266417
    Oben rechts KachelX + 1 68322 KachelY 65439 0.13355220 0.00464986 7.651977 0.266417
    Unten links KachelX 68321 KachelY + 1 65440 0.13350427 0.00460193 7.649231 0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 68322 KachelY + 1 65440 0.13355220 0.00460193 7.651977 0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00464986-0.00460193) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00464986-0.00460193) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13350427-0.13355220) × cos(0.00464986) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999989189420468 × 6371000     		do = 305.358728859499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13350427-0.13355220) × cos(0.00460193) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 305.358796563866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00464986)-sin(0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989189420468-0.999989411138825)×R²
    abs(0.13355220-0.13350427)×2.21718356563372e-07×R²
    4.79300000000016e-05×2.21718356563372e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21718356563372e-07×40589641000000     		ar = 93244.9716777776m²