Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68319 / 65441
↖ ↑ ↗
← N  0.260924°
E  7.643738°		 ← 305.42 m → N  0.260924°
E  7.646484°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.258178°
E  7.643738°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.258178°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521236419677734 y=0.499279022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521236419677734 × 217)
    floor (0.521236419677734 × 131072)
    floor (68319.5)     		tx = 68319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499279022216797 × 217)
    floor (0.499279022216797 × 131072)
    floor (65441.5)     		ty = 65441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68319 / 65441 ti = "17/68319/65441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68319/65441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68319 ÷ 217
    68319 ÷ 131072     		x = 0.521232604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65441 ÷ 217
    65441 ÷ 131072     		y = 0.499275207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521232604980469 × 2 - 1) × π
    0.0424652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13340839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499275207519531 × 2 - 1) × π
    0.0014495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00455400546390533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13340839} λ = 0.13340839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00455400546390533))-π/2
    2×atan(1.00456439070562)-π/2
    2×0.787675158258995-π/2
    1.57535031651799-1.57079632675     		φ = 0.00455399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13340839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.643738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00455399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.260924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68319 KachelY 65441 0.13340839 0.00455399 7.643738 0.260924
    Oben rechts KachelX + 1 68320 KachelY 65441 0.13345633 0.00455399 7.646484 0.260924
    Unten links KachelX 68319 KachelY + 1 65442 0.13340839 0.00450605 7.643738 0.258178
    Unten rechts KachelX + 1 68320 KachelY + 1 65442 0.13345633 0.00450605 7.646484 0.258178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00455399-0.00450605) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00455399-0.00450605) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13340839-0.13345633) × cos(0.00455399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999989630605461 × 6371000     		do = 305.422572920153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13340839-0.13345633) × cos(0.00450605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999989847773877 × 6371000     		du = 305.422639248977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00455399)-sin(0.00450605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989630605461-0.999989847773877)×R²
    abs(0.13345633-0.13340839)×2.17168416027924e-07×R²
    4.79400000000241e-05×2.17168416027924e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17168416027924e-07×40589641000000     		ar = 93283.925493973m²