Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68313 / 65463
↖ ↑ ↗
← N  0.200500°
E  7.627258°		 ← 305.42 m → N  0.200500°
E  7.630005°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.197754°
E  7.627258°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.197754°
E  7.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521190643310547 y=0.499446868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521190643310547 × 217)
    floor (0.521190643310547 × 131072)
    floor (68313.5)     		tx = 68313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499446868896484 × 217)
    floor (0.499446868896484 × 131072)
    floor (65463.5)     		ty = 65463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68313 / 65463 ti = "17/68313/65463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68313/65463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68313 ÷ 217
    68313 ÷ 131072     		x = 0.521186828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65463 ÷ 217
    65463 ÷ 131072     		y = 0.499443054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521186828613281 × 2 - 1) × π
    0.0423736572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13312077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499443054199219 × 2 - 1) × π
    0.0011138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0034993936722641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13312077} λ = 0.13312077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0034993936722641))-π/2
    2×atan(1.00350552369867)-π/2
    2×0.787147856662531-π/2
    1.57429571332506-1.57079632675     		φ = 0.00349939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13312077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.627258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00349939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.200500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68313 KachelY 65463 0.13312077 0.00349939 7.627258 0.200500
    Oben rechts KachelX + 1 68314 KachelY 65463 0.13316871 0.00349939 7.630005 0.200500
    Unten links KachelX 68313 KachelY + 1 65464 0.13312077 0.00345145 7.627258 0.197754
    Unten rechts KachelX + 1 68314 KachelY + 1 65464 0.13316871 0.00345145 7.630005 0.197754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00349939-0.00345145) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00349939-0.00345145) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13312077-0.13316871) × cos(0.00349939) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999993877141062 × 6371000     		do = 305.423869921255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13312077-0.13316871) × cos(0.00345145) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999994043752362 × 6371000     		du = 305.423920808634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00349939)-sin(0.00345145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993877141062-0.999994043752362)×R²
    abs(0.13316871-0.13312077)×1.66611299312613e-07×R²
    4.79399999999963e-05×1.66611299312613e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.66611299312613e-07×40589641000000     		ar = 93284.3192733855m²