Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68307 / 66105
↖ ↑ ↗
← S  1.562611°
E  7.610779°		 ← 305.31 m → S  1.562611°
E  7.613526°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.565357°
E  7.610779°		 ← 305.31 m →
93 211 m²		 S  1.565357°
E  7.613526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521144866943359 y=0.504344940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521144866943359 × 217)
    floor (0.521144866943359 × 131072)
    floor (68307.5)     		tx = 68307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504344940185547 × 217)
    floor (0.504344940185547 × 131072)
    floor (66105.5)     		ty = 66105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68307 / 66105 ti = "17/68307/66105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68307/66105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68307 ÷ 217
    68307 ÷ 131072     		x = 0.521141052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66105 ÷ 217
    66105 ÷ 131072     		y = 0.504341125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521141052246094 × 2 - 1) × π
    0.0422821044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13283315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504341125488281 × 2 - 1) × π
    -0.0086822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.027276095883812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13283315} λ = 0.13283315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.027276095883812))-π/2
    2×atan(0.973092537587822)-π/2
    2×0.771761806225849-π/2
    1.5435236124517-1.57079632675     		φ = -0.02727271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13283315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.610779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02727271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.562611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68307 KachelY 66105 0.13283315 -0.02727271 7.610779 -1.562611
    Oben rechts KachelX + 1 68308 KachelY 66105 0.13288109 -0.02727271 7.613526 -1.562611
    Unten links KachelX 68307 KachelY + 1 66106 0.13283315 -0.02732063 7.610779 -1.565357
    Unten rechts KachelX + 1 68308 KachelY + 1 66106 0.13288109 -0.02732063 7.613526 -1.565357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02727271--0.02732063) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02727271--0.02732063) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13283315-0.13288109) × cos(-0.02727271) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999628122695702 × 6371000     		do = 305.312159099122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13283315-0.13288109) × cos(-0.02732063) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99962681480171 × 6371000     		du = 305.311759634632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02727271)-sin(-0.02732063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999628122695702-0.99962681480171)×R²
    abs(0.13288109-0.13283315)×1.30789399166442e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.30789399166442e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30789399166442e-06×40589641000000     		ar = 93211.2282884536m²