Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68302 / 66110
↖ ↑ ↗
← S  1.576339°
E  7.597046°		 ← 305.31 m → S  1.576339°
E  7.599792°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.579085°
E  7.597046°		 ← 305.31 m →
93 211 m²		 S  1.579085°
E  7.599792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521106719970703 y=0.504383087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521106719970703 × 217)
    floor (0.521106719970703 × 131072)
    floor (68302.5)     		tx = 68302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504383087158203 × 217)
    floor (0.504383087158203 × 131072)
    floor (66110.5)     		ty = 66110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68302 / 66110 ti = "17/68302/66110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68302/66110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68302 ÷ 217
    68302 ÷ 131072     		x = 0.521102905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66110 ÷ 217
    66110 ÷ 131072     		y = 0.504379272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521102905273438 × 2 - 1) × π
    0.042205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13259346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504379272460938 × 2 - 1) × π
    -0.008758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0275157803819122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13259346} λ = 0.13259346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0275157803819122))-π/2
    2×atan(0.972859330340543)-π/2
    2×0.771642008936072-π/2
    1.54328401787214-1.57079632675     		φ = -0.02751231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13259346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02751231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.576339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68302 KachelY 66110 0.13259346 -0.02751231 7.597046 -1.576339
    Oben rechts KachelX + 1 68303 KachelY 66110 0.13264140 -0.02751231 7.599792 -1.576339
    Unten links KachelX 68302 KachelY + 1 66111 0.13259346 -0.02756023 7.597046 -1.579085
    Unten rechts KachelX + 1 68303 KachelY + 1 66111 0.13264140 -0.02756023 7.599792 -1.579085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02751231--0.02756023) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02751231--0.02756023) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13259346-0.13264140) × cos(-0.02751231) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999621560271079 × 6371000     		do = 305.310154765725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13259346-0.13264140) × cos(-0.02756023) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99962024089977 × 6371000     		du = 305.309751795767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02751231)-sin(-0.02756023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999621560271079-0.99962024089977)×R²
    abs(0.13264140-0.13259346)×1.31937130887216e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.31937130887216e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31937130887216e-06×40589641000000     		ar = 93210.6158337267m²