Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68301 / 66107
↖ ↑ ↗
← S  1.568102°
E  7.594299°		 ← 305.25 m → S  1.568102°
E  7.597046°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.570848°
E  7.594299°		 ← 305.25 m →
93 192 m²		 S  1.570848°
E  7.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521099090576172 y=0.504360198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521099090576172 × 217)
    floor (0.521099090576172 × 131072)
    floor (68301.5)     		tx = 68301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504360198974609 × 217)
    floor (0.504360198974609 × 131072)
    floor (66107.5)     		ty = 66107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68301 / 66107 ti = "17/68301/66107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68301/66107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68301 ÷ 217
    68301 ÷ 131072     		x = 0.521095275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66107 ÷ 217
    66107 ÷ 131072     		y = 0.504356384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521095275878906 × 2 - 1) × π
    0.0421905517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13254553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504356384277344 × 2 - 1) × π
    -0.0087127685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0273719696830521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13254553} λ = 0.13254553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0273719696830521))-π/2
    2×atan(0.972999247981317)-π/2
    2×0.771713887215593-π/2
    1.54342777443119-1.57079632675     		φ = -0.02736855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13254553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.594299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02736855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.568102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68301 KachelY 66107 0.13254553 -0.02736855 7.594299 -1.568102
    Oben rechts KachelX + 1 68302 KachelY 66107 0.13259346 -0.02736855 7.597046 -1.568102
    Unten links KachelX 68301 KachelY + 1 66108 0.13254553 -0.02741647 7.594299 -1.570848
    Unten rechts KachelX + 1 68302 KachelY + 1 66108 0.13259346 -0.02741647 7.597046 -1.570848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02736855--0.02741647) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02736855--0.02741647) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13254553-0.13259346) × cos(-0.02736855) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999625504612249 × 6371000     		do = 305.247673328181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13254553-0.13259346) × cos(-0.02741647) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999624192127322 × 6371000     		du = 305.247272545119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02736855)-sin(-0.02741647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999625504612249-0.999624192127322)×R²
    abs(0.13259346-0.13254553)×1.31248492751812e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.31248492751812e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31248492751812e-06×40589641000000     		ar = 93191.5406896366m²