Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68300 / 66109
↖ ↑ ↗
← S  1.573594°
E  7.591553°		 ← 305.31 m → S  1.573594°
E  7.594299°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.576339°
E  7.591553°		 ← 305.31 m →
93 211 m²		 S  1.576339°
E  7.594299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521091461181641 y=0.504375457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521091461181641 × 217)
    floor (0.521091461181641 × 131072)
    floor (68300.5)     		tx = 68300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504375457763672 × 217)
    floor (0.504375457763672 × 131072)
    floor (66109.5)     		ty = 66109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68300 / 66109 ti = "17/68300/66109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68300/66109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68300 ÷ 217
    68300 ÷ 131072     		x = 0.521087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66109 ÷ 217
    66109 ÷ 131072     		y = 0.504371643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521087646484375 × 2 - 1) × π
    0.04217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13249759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504371643066406 × 2 - 1) × π
    -0.0087432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0274678434822922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13249759} λ = 0.13249759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0274678434822922))-π/2
    2×atan(0.972905967318413)-π/2
    2×0.771665968331057-π/2
    1.54333193666211-1.57079632675     		φ = -0.02746439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13249759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02746439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.573594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68300 KachelY 66109 0.13249759 -0.02746439 7.591553 -1.573594
    Oben rechts KachelX + 1 68301 KachelY 66109 0.13254553 -0.02746439 7.594299 -1.573594
    Unten links KachelX 68300 KachelY + 1 66110 0.13249759 -0.02751231 7.591553 -1.576339
    Unten rechts KachelX + 1 68301 KachelY + 1 66110 0.13254553 -0.02751231 7.594299 -1.576339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02746439--0.02751231) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02746439--0.02751231) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13249759-0.13254553) × cos(-0.02746439) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999622877346931 × 6371000     		do = 305.310557034592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13249759-0.13254553) × cos(-0.02751231) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999621560271079 × 6371000     		du = 305.310154765725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02746439)-sin(-0.02751231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999622877346931-0.999621560271079)×R²
    abs(0.13254553-0.13249759)×1.31707585138141e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.31707585138141e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31707585138141e-06×40589641000000     		ar = 93210.7387527596m²