Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68300 / 65484
↖ ↑ ↗
← N  0.142822°
E  7.591553°		 ← 305.42 m → N  0.142822°
E  7.594299°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.140076°
E  7.591553°		 ← 305.42 m →
93 285 m²		 N  0.140076°
E  7.594299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521091461181641 y=0.499607086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521091461181641 × 217)
    floor (0.521091461181641 × 131072)
    floor (68300.5)     		tx = 68300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499607086181641 × 217)
    floor (0.499607086181641 × 131072)
    floor (65484.5)     		ty = 65484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68300 / 65484 ti = "17/68300/65484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68300/65484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68300 ÷ 217
    68300 ÷ 131072     		x = 0.521087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65484 ÷ 217
    65484 ÷ 131072     		y = 0.499603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521087646484375 × 2 - 1) × π
    0.04217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13249759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499603271484375 × 2 - 1) × π
    0.00079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00249271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13249759} λ = 0.13249759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00249271878024292))-π/2
    2×atan(1.00249582818679)-π/2
    2×0.786644521496832-π/2
    1.57328904299366-1.57079632675     		φ = 0.00249272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13249759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00249272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.142822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68300 KachelY 65484 0.13249759 0.00249272 7.591553 0.142822
    Oben rechts KachelX + 1 68301 KachelY 65484 0.13254553 0.00249272 7.594299 0.142822
    Unten links KachelX 68300 KachelY + 1 65485 0.13249759 0.00244478 7.591553 0.140076
    Unten rechts KachelX + 1 68301 KachelY + 1 65485 0.13254553 0.00244478 7.594299 0.140076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00249272-0.00244478) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00249272-0.00244478) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13249759-0.13254553) × cos(0.00249272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99999689317511 × 6371000     		do = 305.424791095685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13249759-0.13254553) × cos(0.00244478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999997011526864 × 6371000     		du = 305.424827243358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00249272)-sin(0.00244478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999689317511-0.999997011526864)×R²
    abs(0.13254553-0.13249759)×1.18351754729851e-07×R²
    4.79399999999963e-05×1.18351754729851e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.18351754729851e-07×40589641000000     		ar = 93284.5983728247m²