Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68297 / 65497
↖ ↑ ↗
← N  0.107117°
E  7.583313°		 ← 305.43 m → N  0.107117°
E  7.586060°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.104370°
E  7.583313°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.104370°
E  7.586060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521068572998047 y=0.499706268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521068572998047 × 217)
    floor (0.521068572998047 × 131072)
    floor (68297.5)     		tx = 68297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499706268310547 × 217)
    floor (0.499706268310547 × 131072)
    floor (65497.5)     		ty = 65497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68297 / 65497 ti = "17/68297/65497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68297/65497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68297 ÷ 217
    68297 ÷ 131072     		x = 0.521064758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65497 ÷ 217
    65497 ÷ 131072     		y = 0.499702453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521064758300781 × 2 - 1) × π
    0.0421295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13235378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499702453613281 × 2 - 1) × π
    0.0005950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00186953908518219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13235378} λ = 0.13235378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00186953908518219))-π/2
    2×atan(1.00187128776295)-π/2
    2×0.786332932395509-π/2
    1.57266586479102-1.57079632675     		φ = 0.00186954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13235378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.583313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00186954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.107117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68297 KachelY 65497 0.13235378 0.00186954 7.583313 0.107117
    Oben rechts KachelX + 1 68298 KachelY 65497 0.13240172 0.00186954 7.586060 0.107117
    Unten links KachelX 68297 KachelY + 1 65498 0.13235378 0.00182160 7.583313 0.104370
    Unten rechts KachelX + 1 68298 KachelY + 1 65498 0.13240172 0.00182160 7.586060 0.104370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00186954-0.00182160) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00186954-0.00182160) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13235378-0.13240172) × cos(0.00186954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999998252410603 × 6371000     		do = 305.425206241192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13235378-0.13240172) × cos(0.00182160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999998340887179 × 6371000     		du = 305.425233264215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00186954)-sin(0.00182160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998252410603-0.999998340887179)×R²
    abs(0.13240172-0.13235378)×8.84765755104766e-08×R²
    4.79399999999963e-05×8.84765755104766e-08×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.84765755104766e-08×40589641000000     		ar = 93284.7237754982m²