Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68295 / 65977
↖ ↑ ↗
← S  1.211153°
E  7.577820°		 ← 305.29 m → S  1.211153°
E  7.580566°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.213898°
E  7.577820°		 ← 305.29 m →
93 206 m²		 S  1.213898°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521053314208984 y=0.503368377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521053314208984 × 217)
    floor (0.521053314208984 × 131072)
    floor (68295.5)     		tx = 68295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503368377685547 × 217)
    floor (0.503368377685547 × 131072)
    floor (65977.5)     		ty = 65977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68295 / 65977 ti = "17/68295/65977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68295/65977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68295 ÷ 217
    68295 ÷ 131072     		x = 0.521049499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65977 ÷ 217
    65977 ÷ 131072     		y = 0.503364562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521049499511719 × 2 - 1) × π
    0.0420989990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13225791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503364562988281 × 2 - 1) × π
    -0.0067291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0211401727324448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13225791} λ = 0.13225791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0211401727324448))-π/2
    2×atan(0.979081714391125)-π/2
    2×0.774828864250701-π/2
    1.5496577285014-1.57079632675     		φ = -0.02113860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13225791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.577820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02113860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.211153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68295 KachelY 65977 0.13225791 -0.02113860 7.577820 -1.211153
    Oben rechts KachelX + 1 68296 KachelY 65977 0.13230584 -0.02113860 7.580566 -1.211153
    Unten links KachelX 68295 KachelY + 1 65978 0.13225791 -0.02118652 7.577820 -1.213898
    Unten rechts KachelX + 1 68296 KachelY + 1 65978 0.13230584 -0.02118652 7.580566 -1.213898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02113860--0.02118652) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02113860--0.02118652) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13225791-0.13230584) × cos(-0.02113860) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999776588114327 × 6371000     		do = 305.293808493075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13225791-0.13230584) × cos(-0.02118652) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999775574080146 × 6371000     		du = 305.293498845539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02113860)-sin(-0.02118652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999776588114327-0.999775574080146)×R²
    abs(0.13230584-0.13225791)×1.01403418129031e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.01403418129031e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.01403418129031e-06×40589641000000     		ar = 93205.6395897407m²