Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68295 / 65975
↖ ↑ ↗
← S  1.205661°
E  7.577820°		 ← 305.29 m → S  1.205661°
E  7.580566°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.208406°
E  7.577820°		 ← 305.29 m →
93 206 m²		 S  1.208406°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521053314208984 y=0.503353118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521053314208984 × 217)
    floor (0.521053314208984 × 131072)
    floor (68295.5)     		tx = 68295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503353118896484 × 217)
    floor (0.503353118896484 × 131072)
    floor (65975.5)     		ty = 65975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68295 / 65975 ti = "17/68295/65975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68295/65975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68295 ÷ 217
    68295 ÷ 131072     		x = 0.521049499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65975 ÷ 217
    65975 ÷ 131072     		y = 0.503349304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521049499511719 × 2 - 1) × π
    0.0420989990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13225791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503349304199219 × 2 - 1) × π
    -0.0066986083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0210442989332047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13225791} λ = 0.13225791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0210442989332047))-π/2
    2×atan(0.979175587174749)-π/2
    2×0.774876790489138-π/2
    1.54975358097828-1.57079632675     		φ = -0.02104275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13225791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.577820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02104275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.205661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68295 KachelY 65975 0.13225791 -0.02104275 7.577820 -1.205661
    Oben rechts KachelX + 1 68296 KachelY 65975 0.13230584 -0.02104275 7.580566 -1.205661
    Unten links KachelX 68295 KachelY + 1 65976 0.13225791 -0.02109067 7.577820 -1.208406
    Unten rechts KachelX + 1 68296 KachelY + 1 65976 0.13230584 -0.02109067 7.580566 -1.208406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02104275--0.02109067) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02104275--0.02109067) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13225791-0.13230584) × cos(-0.02104275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99977860950566 × 6371000     		do = 305.294425749236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13225791-0.13230584) × cos(-0.02109067) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999777600063586 × 6371000     		du = 305.294117503955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02104275)-sin(-0.02109067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99977860950566-0.999777600063586)×R²
    abs(0.13230584-0.13225791)×1.00944207315212e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.00944207315212e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.00944207315212e-06×40589641000000     		ar = 93205.8282510598m²