Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68292 / 65972
↖ ↑ ↗
← S  1.197423°
E  7.569580°		 ← 305.30 m → S  1.197423°
E  7.572327°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.200168°
E  7.569580°		 ← 305.30 m →
93 206 m²		 S  1.200168°
E  7.572327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521030426025391 y=0.503330230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521030426025391 × 217)
    floor (0.521030426025391 × 131072)
    floor (68292.5)     		tx = 68292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503330230712891 × 217)
    floor (0.503330230712891 × 131072)
    floor (65972.5)     		ty = 65972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68292 / 65972 ti = "17/68292/65972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68292/65972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68292 ÷ 217
    68292 ÷ 131072     		x = 0.521026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65972 ÷ 217
    65972 ÷ 131072     		y = 0.503326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521026611328125 × 2 - 1) × π
    0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.00665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0209004882343445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13211410} λ = 0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0209004882343445))-π/2
    2×atan(0.979316413226151)-π/2
    2×0.774948680027932-π/2
    1.54989736005586-1.57079632675     		φ = -0.02089897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02089897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.197423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68292 KachelY 65972 0.13211410 -0.02089897 7.569580 -1.197423
    Oben rechts KachelX + 1 68293 KachelY 65972 0.13216203 -0.02089897 7.572327 -1.197423
    Unten links KachelX 68292 KachelY + 1 65973 0.13211410 -0.02094689 7.569580 -1.200168
    Unten rechts KachelX + 1 68293 KachelY + 1 65973 0.13216203 -0.02094689 7.572327 -1.200168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02089897--0.02094689) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02089897--0.02094689) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13211410-0.13216203) × cos(-0.02089897) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999781624474911 × 6371000     		do = 305.295346406366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13211410-0.13216203) × cos(-0.02094689) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999780621921257 × 6371000     		du = 305.295040264548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02089897)-sin(-0.02094689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999781624474911-0.999780621921257)×R²
    abs(0.13216203-0.13211410)×1.0025536538727e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.0025536538727e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.0025536538727e-06×40589641000000     		ar = 93206.1096472229m²