Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68290 / 66122
↖ ↑ ↗
← S  1.609285°
E  7.564087°		 ← 305.31 m → S  1.609285°
E  7.566834°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.612031°
E  7.564087°		 ← 305.30 m →
93 209 m²		 S  1.612031°
E  7.566834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521015167236328 y=0.504474639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521015167236328 × 217)
    floor (0.521015167236328 × 131072)
    floor (68290.5)     		tx = 68290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504474639892578 × 217)
    floor (0.504474639892578 × 131072)
    floor (66122.5)     		ty = 66122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68290 / 66122 ti = "17/68290/66122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68290/66122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68290 ÷ 217
    68290 ÷ 131072     		x = 0.521011352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66122 ÷ 217
    66122 ÷ 131072     		y = 0.504470825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521011352539062 × 2 - 1) × π
    0.042022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13201822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504470825195312 × 2 - 1) × π
    -0.008941650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0280910231773529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13201822} λ = 0.13201822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0280910231773529))-π/2
    2×atan(0.972299860950583)-π/2
    2×0.771354498676376-π/2
    1.54270899735275-1.57079632675     		φ = -0.02808733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13201822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.564087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02808733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.609285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68290 KachelY 66122 0.13201822 -0.02808733 7.564087 -1.609285
    Oben rechts KachelX + 1 68291 KachelY 66122 0.13206616 -0.02808733 7.566834 -1.609285
    Unten links KachelX 68290 KachelY + 1 66123 0.13201822 -0.02813525 7.564087 -1.612031
    Unten rechts KachelX + 1 68291 KachelY + 1 66123 0.13206616 -0.02813525 7.566834 -1.612031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02808733--0.02813525) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02808733--0.02813525) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13201822-0.13206616) × cos(-0.02808733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99960557687773 × 6371000     		do = 305.305273025984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13201822-0.13206616) × cos(-0.02813525) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999604229962128 × 6371000     		du = 305.30486164329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02808733)-sin(-0.02813525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99960557687773-0.999604229962128)×R²
    abs(0.13206616-0.13201822)×1.34691560149669e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.34691560149669e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.34691560149669e-06×40589641000000     		ar = 93209.1241625935m²