Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68281 / 65465
↖ ↑ ↗
← N  0.195007°
E  7.539368°		 ← 305.42 m → N  0.195007°
E  7.542114°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.192261°
E  7.539368°		 ← 305.42 m →
93 265 m²		 N  0.192261°
E  7.542114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520946502685547 y=0.499462127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520946502685547 × 217)
    floor (0.520946502685547 × 131072)
    floor (68281.5)     		tx = 68281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499462127685547 × 217)
    floor (0.499462127685547 × 131072)
    floor (65465.5)     		ty = 65465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68281 / 65465 ti = "17/68281/65465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68281/65465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68281 ÷ 217
    68281 ÷ 131072     		x = 0.520942687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65465 ÷ 217
    65465 ÷ 131072     		y = 0.499458312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520942687988281 × 2 - 1) × π
    0.0418853759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13158679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499458312988281 × 2 - 1) × π
    0.0010833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00340351987302399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13158679} λ = 0.13158679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00340351987302399))-π/2
    2×atan(1.00340931842341)-π/2
    2×0.787099920048454-π/2
    1.57419984009691-1.57079632675     		φ = 0.00340351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13158679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.539368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00340351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.195007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68281 KachelY 65465 0.13158679 0.00340351 7.539368 0.195007
    Oben rechts KachelX + 1 68282 KachelY 65465 0.13163473 0.00340351 7.542114 0.195007
    Unten links KachelX 68281 KachelY + 1 65466 0.13158679 0.00335558 7.539368 0.192261
    Unten rechts KachelX + 1 68282 KachelY + 1 65466 0.13163473 0.00335558 7.542114 0.192261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00340351-0.00335558) × R
    4.79300000000003e-05 × 6371000     		dl = 305.362030000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00340351-0.00335558) × R
    4.79300000000003e-05 × 6371000     		dr = 305.362030000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13158679-0.13163473) × cos(0.00340351) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999994208065431 × 6371000     		do = 305.423970994075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13158679-0.13163473) × cos(0.00335558) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999994370046715 × 6371000     		du = 305.424020467328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00340351)-sin(0.00335558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999994208065431-0.999994370046715)×R²
    abs(0.13163473-0.13158679)×1.61981283497425e-07×R²
    4.79399999999963e-05×1.61981283497425e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.61981283497425e-07×40589641000000     		ar = 93264.8913648934m²