Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68276 / 66124
↖ ↑ ↗
← S  1.614777°
E  7.525634°		 ← 305.30 m → S  1.614777°
E  7.528381°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.617522°
E  7.525634°		 ← 305.30 m →
93 189 m²		 S  1.617522°
E  7.528381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520908355712891 y=0.504489898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520908355712891 × 217)
    floor (0.520908355712891 × 131072)
    floor (68276.5)     		tx = 68276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504489898681641 × 217)
    floor (0.504489898681641 × 131072)
    floor (66124.5)     		ty = 66124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68276 / 66124 ti = "17/68276/66124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68276/66124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68276 ÷ 217
    68276 ÷ 131072     		x = 0.520904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66124 ÷ 217
    66124 ÷ 131072     		y = 0.504486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520904541015625 × 2 - 1) × π
    0.04180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13134710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.00897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.028186896976593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13134710} λ = 0.13134710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.028186896976593))-π/2
    2×atan(0.972206647337356)-π/2
    2×0.771306580748759-π/2
    1.54261316149752-1.57079632675     		φ = -0.02818317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13134710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.525634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02818317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.614777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68276 KachelY 66124 0.13134710 -0.02818317 7.525634 -1.614777
    Oben rechts KachelX + 1 68277 KachelY 66124 0.13139504 -0.02818317 7.528381 -1.614777
    Unten links KachelX 68276 KachelY + 1 66125 0.13134710 -0.02823108 7.525634 -1.617522
    Unten rechts KachelX + 1 68277 KachelY + 1 66125 0.13139504 -0.02823108 7.528381 -1.617522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02818317--0.02823108) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02818317--0.02823108) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13134710-0.13139504) × cos(-0.02818317) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999602880751109 × 6371000     		do = 305.304449559516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13134710-0.13139504) × cos(-0.02823108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999601529526949 × 6371000     		du = 305.304036860877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02818317)-sin(-0.02823108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999602880751109-0.999601529526949)×R²
    abs(0.13139504-0.13134710)×1.3512241602287e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.3512241602287e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3512241602287e-06×40589641000000     		ar = 93189.4216254289m²