Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68274 / 66134
↖ ↑ ↗
← S  1.642231°
E  7.520142°		 ← 305.30 m → S  1.642231°
E  7.522888°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.644977°
E  7.520142°		 ← 305.30 m →
93 208 m²		 S  1.644977°
E  7.522888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520893096923828 y=0.504566192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520893096923828 × 217)
    floor (0.520893096923828 × 131072)
    floor (68274.5)     		tx = 68274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504566192626953 × 217)
    floor (0.504566192626953 × 131072)
    floor (66134.5)     		ty = 66134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68274 / 66134 ti = "17/68274/66134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68274/66134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68274 ÷ 217
    68274 ÷ 131072     		x = 0.520889282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66134 ÷ 217
    66134 ÷ 131072     		y = 0.504562377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520889282226562 × 2 - 1) × π
    0.041778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13125123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504562377929688 × 2 - 1) × π
    -0.009124755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0286662659727936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13125123} λ = 0.13125123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0286662659727936))-π/2
    2×atan(0.971740713298811)-π/2
    2×0.771066993061344-π/2
    1.54213398612269-1.57079632675     		φ = -0.02866234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13125123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.520142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02866234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.642231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68274 KachelY 66134 0.13125123 -0.02866234 7.520142 -1.642231
    Oben rechts KachelX + 1 68275 KachelY 66134 0.13129917 -0.02866234 7.522888 -1.642231
    Unten links KachelX 68274 KachelY + 1 66135 0.13125123 -0.02871026 7.520142 -1.644977
    Unten rechts KachelX + 1 68275 KachelY + 1 66135 0.13129917 -0.02871026 7.522888 -1.644977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02866234--0.02871026) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02866234--0.02871026) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13125123-0.13129917) × cos(-0.02866234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999589263253388 × 6371000     		do = 305.300290425197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13125123-0.13129917) × cos(-0.02871026) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999587888794418 × 6371000     		du = 305.299870630049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02866234)-sin(-0.02871026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999589263253388-0.999587888794418)×R²
    abs(0.13129917-0.13125123)×1.37445896986055e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.37445896986055e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37445896986055e-06×40589641000000     		ar = 93207.6016987819m²