Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68271 / 66129
↖ ↑ ↗
← S  1.628504°
E  7.511902°		 ← 305.30 m → S  1.628504°
E  7.514649°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.631249°
E  7.511902°		 ← 305.30 m →
93 208 m²		 S  1.631249°
E  7.514649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520870208740234 y=0.504528045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520870208740234 × 217)
    floor (0.520870208740234 × 131072)
    floor (68271.5)     		tx = 68271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504528045654297 × 217)
    floor (0.504528045654297 × 131072)
    floor (66129.5)     		ty = 66129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68271 / 66129 ti = "17/68271/66129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68271/66129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68271 ÷ 217
    68271 ÷ 131072     		x = 0.520866394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66129 ÷ 217
    66129 ÷ 131072     		y = 0.504524230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520866394042969 × 2 - 1) × π
    0.0417327880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13110742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504524230957031 × 2 - 1) × π
    -0.0090484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0284265814746933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13110742} λ = 0.13110742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0284265814746933))-π/2
    2×atan(0.971973652398792)-π/2
    2×0.771186786497059-π/2
    1.54237357299412-1.57079632675     		φ = -0.02842275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13110742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.511902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02842275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.628504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68271 KachelY 66129 0.13110742 -0.02842275 7.511902 -1.628504
    Oben rechts KachelX + 1 68272 KachelY 66129 0.13115536 -0.02842275 7.514649 -1.628504
    Unten links KachelX 68271 KachelY + 1 66130 0.13110742 -0.02847067 7.511902 -1.631249
    Unten rechts KachelX + 1 68272 KachelY + 1 66130 0.13115536 -0.02847067 7.514649 -1.631249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02842275--0.02847067) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02842275--0.02847067) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13110742-0.13115536) × cos(-0.02842275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999596100833237 × 6371000     		do = 305.302378798083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13110742-0.13115536) × cos(-0.02847067) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999594737850736 × 6371000     		du = 305.301962508144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02842275)-sin(-0.02847067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999596100833237-0.999594737850736)×R²
    abs(0.13115536-0.13110742)×1.36298250130729e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.36298250130729e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36298250130729e-06×40589641000000     		ar = 93208.2398105838m²