Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68268 / 66132
↖ ↑ ↗
← S  1.636740°
E  7.503662°		 ← 305.30 m → S  1.636740°
E  7.506409°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.639485°
E  7.503662°		 ← 305.30 m →
93 188 m²		 S  1.639485°
E  7.506409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520847320556641 y=0.504550933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520847320556641 × 217)
    floor (0.520847320556641 × 131072)
    floor (68268.5)     		tx = 68268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504550933837891 × 217)
    floor (0.504550933837891 × 131072)
    floor (66132.5)     		ty = 66132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68268 / 66132 ti = "17/68268/66132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68268/66132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68268 ÷ 217
    68268 ÷ 131072     		x = 0.520843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66132 ÷ 217
    66132 ÷ 131072     		y = 0.504547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520843505859375 × 2 - 1) × π
    0.04168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13096361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.00909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0285703921735535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13096361} λ = 0.13096361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0285703921735535))-π/2
    2×atan(0.97183388223903)-π/2
    2×0.771114910337272-π/2
    1.54222982067454-1.57079632675     		φ = -0.02856651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13096361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.503662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02856651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.636740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68268 KachelY 66132 0.13096361 -0.02856651 7.503662 -1.636740
    Oben rechts KachelX + 1 68269 KachelY 66132 0.13101155 -0.02856651 7.506409 -1.636740
    Unten links KachelX 68268 KachelY + 1 66133 0.13096361 -0.02861442 7.503662 -1.639485
    Unten rechts KachelX + 1 68269 KachelY + 1 66133 0.13101155 -0.02861442 7.506409 -1.639485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02856651--0.02861442) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02856651--0.02861442) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13096361-0.13101155) × cos(-0.02856651) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999592004999549 × 6371000     		do = 305.301127825047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13096361-0.13101155) × cos(-0.02861442) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999590635416975 × 6371000     		du = 305.300709519276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02856651)-sin(-0.02861442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999592004999549-0.999590635416975)×R²
    abs(0.13101155-0.13096361)×1.36958257401787e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.36958257401787e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36958257401787e-06×40589641000000     		ar = 93188.406861372m²