Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68267 / 66131
↖ ↑ ↗
← S  1.633995°
E  7.500915°		 ← 305.30 m → S  1.633995°
E  7.503662°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.636740°
E  7.500915°		 ← 305.30 m →
93 208 m²		 S  1.636740°
E  7.503662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520839691162109 y=0.504543304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520839691162109 × 217)
    floor (0.520839691162109 × 131072)
    floor (68267.5)     		tx = 68267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504543304443359 × 217)
    floor (0.504543304443359 × 131072)
    floor (66131.5)     		ty = 66131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68267 / 66131 ti = "17/68267/66131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68267/66131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68267 ÷ 217
    68267 ÷ 131072     		x = 0.520835876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66131 ÷ 217
    66131 ÷ 131072     		y = 0.504539489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520835876464844 × 2 - 1) × π
    0.0416717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13091567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504539489746094 × 2 - 1) × π
    -0.0090789794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0285224552739334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13091567} λ = 0.13091567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0285224552739334))-π/2
    2×atan(0.971880470058919)-π/2
    2×0.77113886902447-π/2
    1.54227773804894-1.57079632675     		φ = -0.02851859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13091567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.500915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02851859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.633995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68267 KachelY 66131 0.13091567 -0.02851859 7.500915 -1.633995
    Oben rechts KachelX + 1 68268 KachelY 66131 0.13096361 -0.02851859 7.503662 -1.633995
    Unten links KachelX 68267 KachelY + 1 66132 0.13091567 -0.02856651 7.500915 -1.636740
    Unten rechts KachelX + 1 68268 KachelY + 1 66132 0.13096361 -0.02856651 7.503662 -1.636740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02851859--0.02856651) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02851859--0.02856651) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13091567-0.13096361) × cos(-0.02851859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999593372572839 × 6371000     		do = 305.301545517132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13091567-0.13096361) × cos(-0.02856651) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999592004999549 × 6371000     		du = 305.301127825047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02851859)-sin(-0.02856651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999593372572839-0.999592004999549)×R²
    abs(0.13096361-0.13091567)×1.36757328983439e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.36757328983439e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36757328983439e-06×40589641000000     		ar = 93207.9851972703m²