Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68265 / 65639
↖ ↑ ↗
← S  0.282897°
E  7.495422°		 ← 305.42 m → S  0.282897°
E  7.498169°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.285644°
E  7.495422°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 S  0.285644°
E  7.498169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520824432373047 y=0.500789642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520824432373047 × 217)
    floor (0.520824432373047 × 131072)
    floor (68265.5)     		tx = 68265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500789642333984 × 217)
    floor (0.500789642333984 × 131072)
    floor (65639.5)     		ty = 65639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68265 / 65639 ti = "17/68265/65639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68265/65639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68265 ÷ 217
    68265 ÷ 131072     		x = 0.520820617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65639 ÷ 217
    65639 ÷ 131072     		y = 0.500785827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520820617675781 × 2 - 1) × π
    0.0416412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13081980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500785827636719 × 2 - 1) × π
    -0.0015716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00493750066086578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13081980} λ = 0.13081980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00493750066086578))-π/2
    2×atan(0.995074668758445)-π/2
    2×0.782929423097862-π/2
    1.56585884619572-1.57079632675     		φ = -0.00493748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13081980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.495422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00493748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.282897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68265 KachelY 65639 0.13081980 -0.00493748 7.495422 -0.282897
    Oben rechts KachelX + 1 68266 KachelY 65639 0.13086774 -0.00493748 7.498169 -0.282897
    Unten links KachelX 68265 KachelY + 1 65640 0.13081980 -0.00498542 7.495422 -0.285644
    Unten rechts KachelX + 1 68266 KachelY + 1 65640 0.13086774 -0.00498542 7.498169 -0.285644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00493748--0.00498542) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00493748--0.00498542) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13081980-0.13086774) × cos(-0.00493748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999987810670388 × 6371000     		do = 305.42201706496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13081980-0.13086774) × cos(-0.00498542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999987572819451 × 6371000     		du = 305.421944419161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00493748)-sin(-0.00498542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987810670388-0.999987572819451)×R²
    abs(0.13086774-0.13081980)×2.37850937168105e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.37850937168105e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37850937168105e-07×40589641000000     		ar = 93283.7344982747m²